与编程密切相关的数学——离散数学——代数系统篇_独异点同构

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代数系统

广义的代数系统

代数系统的基本概念

定义：设A是个非空集合且fi是A上的ni元运算，其中i = 1，2，…，m。由A及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数结构或代数系统，记作

          < A，f1，f2，…，fm >。
1

集合的基数（集合的元素数量）定义为代数系统的基数

• 集合A是有限集合则说代数系统是有限代数系统

• 集合A是无限集合则说代数系统是无穷代数系统

同类型的代数系统

定义：两个代数系统<A，f1，f2，…，fm>和<B，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元数，这两个代数系统是同类型的

运算及其性质

封闭性

设是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有xy属于∈A，即，则称二元运算*在A上是封闭的。

在运算表中判断：运算表中没有新的元素出现

交换律

(任意x)(任意y)(x，y∈A→xy = yx)

运算表特点：关于运算表的主对角线对称

结合律

(任意x)(任意y)(任意z) (x，y，z∈A→(xy)z=x(yz))

分配律

(任意x)(任意y)(任意z)(x，y，z∈A→x*(y⊙z)=(xy)⊙(xz)∧(y⊙z)x=(yx)⊙(z*x))

• 则称运算对于⊙满足分配律，或者对于⊙是可分配的。

吸收律

(任意x)(任意y)(x，y∈A→x*(x⊙y)=x∧x⊙(x*y)=x)

• 则称运算和运算⊙满足吸收律，或称对于⊙以及⊙对于*是可吸收的。

运算表特点：主对角线与表头相同

等幂律

(任意x)(x∈A→x*x=x)

• 称运算是等幂的，或满足等幂律，并称x是关于*的等幂元

定理：对于等幂元x，x的n次方都等于x

幺元

左幺元：（e1∈A）(任意x)(x∈A→e1*x=x)，则称e1为左幺元

• 运算表特点：左幺元所在的行的结果与上表头相同

右幺元：（e2）(任意x)(x∈A→x*e2=x)，则称e2为右幺元

• 运算表特点：右幺元所在的列的结果与左表头相同

定理：左右幺元相等于幺元，且幺元唯一

• 在运算表中找幺元的方法：1.先找行与上表头相同的，列与左表头相同的
  2.再看左得到左幺元，和上表头得到右幺元
  3.当左右幺元相同时候，该元素就是幺元

当左右幺元相等为e的时候，称e为幺元(任意x)(x∈A→ex = xe = x)

零元

左零元：(任意x)(x∈A→θ1*x=θ1)，就称θ1为左零元

• 运算表特点：左零元所在的行与左表头相同

右零元：(任意x)(x∈A→x*θr=θr)，就称θr为右零元

• 运算表特点：右零元所在的列与上表头相同

定理：左右零元相等于零元，且零元唯一

• 在运算表中找零元的方法：1.看行和列是否都是相同且与左和上表头相同
  2.得到左右零元，如果左右零元相同 ，该元素就是零元

当左右零元相等为θ的时候，就称θ为零元(任意x)(x∈A→θx = xθ =θ)

逆元

存在条件

• 存在幺元e

• 左逆元和右幺元相等x⊙x-1 = e

• 在运算表中找到逆元

  • 1.先找是否有幺元，没有幺元就没有逆元

  • 2.再看看两个数的运算是不是的得到幺元，就是xy=e&&yx=e

定理：给定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可结合的并且一个元素x的左逆元xl-1和右逆元xr-1存在，则xl-1=xr-1。

可约律

给定代数系统<A，⊙>，⊙是定义在A上的一个可交换的二元运算，且θ是A中关于运算⊙的零元。如果对于A中的任意元素x ≠ θ和任意的y，z，若x⊙y = x⊙z，都有y = z，

即(任意x)(任意y)(任意z)((x，y，z∈S∧x ≠ θ∧x⊙y = x⊙z)→ y = z)，
则称x是关于⊙的可约元，并且称⊙满足可约律或是可约的。

定理

• 可结合，x可逆且不是零元，则x是可约元

子代数系统

设<S，f1，f2，…，fm >是一代数系统，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元（幺元或零元），

则称<T，f1，f2，…，fm >为代数系统<S，f1，f2，…，fm >的子代数

同态与同构

同态

定义

• 1.<X，⊙>与<Y，*>是同类型的两个代数系统

• 2.(存在f )(f ∈X->Y∧(任意x1)(任意x2)(x1，x2∈X→f(x1⊙x2)= f(x1)*f(x2)))

• 3.称<X，⊙>同态于<Y，>或<Y，>为<X，⊙>的同态象

• 4.记为<X，⊙> ~ <Y，*>

• 称f为从<X，⊙>到<Y，*>的同态映射

（+m）模加法

• 定义：[a] +m [b] = [(a+b)(mod m)]

×m模乘法

• 定义：[a] ×m [b] = [(a×b)(mod m)]

定理： 如果<X，⊙> ~ <Y，>且f为其同态映射，则<R(f)（值域），><Y，*>。

同构

定义

• 设<X，⊙> ~ <Y，*>且f为其同态映射

• 1.如果f为满射，则称f是从<X，⊙>到<Y，*>的满同态映射。

• 2.如果f为单射(或一对一映射)，则称f为从<X，⊙>到<Y，*>的单一同态映射

• 3.如果f为双射(或一一对应)，则称f为从<X，⊙>到<Y，>的同构映射。记为<X，⊙>≌<Y，>。

• 若f是从<X，⊙>到<Y，>的同构映射，
  则f为从<X，⊙>到<Y，>的满同态映射及单一同态映射

定理：代数系统的同构关系的等价关系

定理

定<X，⊙，*>~<Y，-，+>且f为其满同态映射

(1)如果⊙和*满足结合律，则-和+也满足结合律。

(2)如果⊙和*满足交换律，则-和+也满足交换律

(3)如果⊙对于或对于⊙满足分配律，则-对于+或+对于-也相应满足分配律。

(4)如果⊙对于或对于⊙满足吸收律，则-对于+或+对于-也满足吸收律。

(5)如果⊙和*满足等幂律，则-和+也满足等幂律。

(6)如果e1和e2分别是关于⊙和*的幺元，则f(e1)和f(e2)分别为关于-和+的幺元。

(7)如果θ1和θ2分别是关于⊙和*的零元，则f(θ1)和f(θ2)分别为关于-和+的零元。

(8)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x-1，则对每个f(x)∈Y也均存在关于-的逆元f(x-1)；

如果对每个z∈X均存在关于*的逆元z-1，则对每个f(z)∈Y也均存在关于+的逆元f(z-1)。

f首先必须是满同态映射，此时定理单向的

映射前的存在的性质，映射后也满足
当两个代数系统为同构的时候，定理双向。

同余关系

定义

1.给定代数系统<S，⊙>，且E为S中的等价关系

2.定义E有代换性质<=>(任意x1，x2，y1，y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2→(x1⊙y1)E(x2⊙y2)

3.若E有代换性质，则称E为<S，⊙>中的同余关系

4.称同余关系E的等价类为同余类。

判断是否有同余关系，就要对每个运算关系都要判断且都要同时满足才可以

同余关系是代数系统的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。

即若[x1]E = [x2]E并且[y1]E = [y2]E，则[x1⊙y1]E = [x2⊙y2]E

定理

设<S，⊙>与<T，*>是同类型的，

且f为其同态映射

对应于f，定义关系Ef如下：

xEf y：f(x)= f(y)， 其中x，y∈S

则Ef是<S，⊙>中的同余关系

称Ef为由同态映射f所诱导的同余关系。

典型的代数系统

半群与群

半群与独异点

定义

• 广群

  • 非空集合

  • 运算封闭

• 半群

  • 非空集合

  • 运算封闭

  • 满足结合律

  • 广群满足结合律

• 独异点

  • 非空集合

  • 运算封闭

  • 满足结合律

  • 存在独异点

  • 半群＋存在独异点
    表示：<M，⊙，e>

• 可交换半群

  • 非空集合

  • 运算封闭

  • 满足结合律

  • 满足交换律

  • 半群＋满足交换律

• 循环半群

  • 给定半群<S，⊙>和g∈S

  • 自然数集合N

  • g为<S，⊙>的生成元
    当且仅当
    (任意x)(x∈S→(存在n)(n∈N∧x = g^n))

    • 生成集：一个s的子集，经过自身的二元运算生成集合s

  • 元素g生成半群<S，⊙>，而且称该半群为循环半群。

  • 规定g^0=e

定理：<S，⊙>为有限半群=>(存在x)(x∈S∧x⊙x=x)

• 所以有限的半群必定存在等幂元

循环半群

• 定理：每个循环半群都是可交换的

子半群

• 定义：给定半群<S，⊙>及非空集T包含于S，若T对⊙封闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半群。
  子独异点要求e∈T。

• 定理：给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a^2，a3，…}，⊙>是循环子半群

• 定理1：给定可交换独异点<M，⊙，e>，若P为其等幂元集合，则<P，⊙，e>为子独异点

独异点

• 定理1：设<M，⊙，e>为独异点，则关于⊙的运算表中任两列或任两行均不相同。

• 定理2：给定独异点<M，⊙，e>，对任意a，b∈M且a，b均有逆元，则
  (1) (a^-1)-1 = a。
  (2) a⊙b有逆元，且(a⊙b)^-1 =b^-1⊙a-1 。

半群同态映射

• 定义：给定两个半群<S，⊙>与<T，>，则<S，⊙>同态于<T，>当且仅当(存在f)(f∈T->S∧(任意x)(任意y)(x，y∈S→ f(x⊙y)= f(x)f(y))，
  并称f为从<S，⊙>到<T，>的半群同态映射。

• 定理：如果g是从<S，⊙>到<T，☆>的半群同态映射，h是从<T，☆>到<U，>的半群同态映射，
  则h○g是从<S，⊙>到<U，>的半群同态映射。

• 自同态映射&自同构

  • 定义：g是从<S，⊙>到<S，⊙>的半群同态映射，则称g为半群自同态映射；
    若g是从<S，⊙>到<S，⊙>的半群同构映射，则称g为半群自同构映射。

  • 定理1：给定半群<S，⊙>，如果A={g|g为<S，⊙>到<S，⊙>的半群自同态映射}且○是函数复合运算，
    则<A，○>为半群。

  • 定理2：给定半群<S，⊙>，若B={h|h为<S，⊙>到<S，⊙>的半群自同构映射}，○为函数复合运算，
    则<B，○，IA>是独异点。（IA为复合运算的幺元）

  • 定理3：给定半群<S，⊙>，又<S<-S，○>是从S到S的所有函数在复合运算○下构成的函数半群，
    则存在从<S，⊙>到<S<-S，○>的半群同态映射g，或者说<S，⊙>半群同态于<S<-S，○>。

独异点同态

• 定义：给定独异点<M，⊙，eM>和<T，，eT>，则<M，⊙，eM>同态于<T，，eT>
  当且仅当
  (存在g)(g∈T<-M∧(任意x)(任意y)(x，y∈M→g(x⊙y)= g(x)g(y))∧g(eM)= eT)，
  并称g为从<M，⊙，eM>到<T，，eT>的独异点同态映射。

• 定理1：6.12 给定独异点<M，⊙>，则存在T ∈ M-<M，使<M，⊙>≌<T，○>。

  • 该定理表明，一个独异点可以与复合运算下的函数独异点同构

群的定义与性质

定义

• 封闭

• 可结合

• 存在幺元

• 每个元素可逆

• 独异点+每个元素可逆

群的分类

• 定义：给定群<G，⊙>，
  若G是有限集，则称<G，⊙>是有限群。
  并且把G的基数称为该有限群的阶数，
  若集合G是无穷的，则称<G，⊙>为无穷群。
  特别，若|G| =1，则称<G，⊙>为平凡群。

性质

• 定理1：<G，⊙>是群∧|G|＞1=><G，⊙>无零元。

• 定理2：<G，⊙>是群=><G，⊙>中的唯一等幂元是幺元。

• 定理3：群满足可约律

• 定理4：群中的方程解是唯一的

• 群元素的幂

  * a^-1是a的逆元
  1

  • 定理：设<G，⊙>为群，则
    ① 任意a∈G，(a-1)-1 = a
    ② 任意a，b=∈G，(a⊙b)^-1 = b^-1⊙a-1
    ③ 任意a∈G，m，n∈Z，有a^m⊙an = a^(m+n)
    ④ 任意a∈G，m，n∈Z，有(a^m)n = a^mn

阿贝尔群、置换群与循环群

阿贝尔群||可交换群

• 定义

  • 封闭

  • 可结合

  • 存在幺元

  • 每个元素可逆

  • 可交换

  • 群＋可交换

• 定理1

• 元素的阶

  • 定义

  • 定理1

    • 给定群<G，⊙>，a∈G，且|a| =n，m为整数，则a^k=e 当且仅当k=mn。

    • 推论：若a^n = e且没有n的因子d (1＜d＜n)使a^d = e，则n为a的阶。

  • 给定群<G，⊙>及a∈G，则a与a-1具有相同的阶。

置换群

• 置换

  • 定义：令X是非空有穷集合，从X到X的双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶

  • 置换表

    • 反置换表

    • 幺置换||恒等置换

    • 所有置换的集合叫Px

  • 定理：若X={x1，x2，…，xn}，则|Px| = n!

  • 复合置换

    • 给定集合X且pi，pj∈PX，由X的元素先进行置换pi后继之作置换pj所得到的置换，表为pi◇pj，
      称pi◇pj是置换pi和pj的复合，◇是复合置换运算。

    • 置换可以看成是一种特殊的函数复合

  • 性质

    • (1) (任意p1)(任意p2)(p1，p2∈PX→p1◇p2∈Px∧p2◇p1∈Px)

      • 表明Px对于◇是封闭的

    • (2) (任意p1)(任意p2)(p3)(p1，p2，p3∈PX →(p1◇p2)◇p3 = p1◇(p2◇p3))

      • 表明Px对于◇是可结合的

    • (3) (存在pe)(pe∈PX∧(任意p)(p∈Px→pe◇p = p◇pe = p))

      • 表明PX中有幺置换

    • (4) (任意p)(p∈PX →(存在p^{-1)(p-1∈PX∧p◇p}-1 = p^-1◇p = pe))

      • 表明PX中每个置换都有反置换

    • 因此，可知<PX，◇>是一个群，并称它为对称群，
      习惯上记为<S|X|，◇>。
      若Q 是PX = S|X|的子集，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换群。

• 确定二元关系

  • 定义：令<Q，◇>是一置换群且Q ∈ S|X|。称R={<a，b＞|a，b∈X∧p∈Q∧p(a)=b}为由<Q，◇>所诱导的X上的二元关系。

  • 定理：由置换群<Q，◇>诱导的X上的二元关系是一个等价关系。

• 置换与群的运算表的关系

  • 定理：在有限群<G，⊙>运算表中，每行或每列都是G中元素的置换，且各行各列都是不同的置换

  • 用定理来就对有限群写出唯一的运算表

  • 2,3,4,5阶群都是阿贝尔群，在高就不确定

• 置换群是交换群的特例

循环群

• 定义：设<G，⊙>是群，若存在g∈G，对任意x∈G，存在k∈Z，有x = g^k，称<G，⊙>是循环群，记作G = ，
  称g是群<G，⊙>的生成元。

• 分类

  • 有限循环群：（标准）存在最小正整数n，g^n = e，称n为生成元的阶或周期

  • 无限循环群：g是无限阶

• 定理1：任何循环群必定是阿贝尔群

• 定理2：设<G，⊙>是以g为生成元的循环群，e为幺元，若|G|=n，则g^n = e，且G = {g，g^2，…，gn = e}。

子群、陪集与拉格朗日定理

子群

• 定义

  • 设<G，⊙>是一个群，H是G的子集且为非空集合，若<H，⊙>也是群，则称<H，⊙>为群<G，⊙>的子群。

  • 平凡子群

    • 最小的子群：<{e}，⊙>

    • 最大的子群：<G，⊙>

  • 其余的叫真子群

• 定理1：群与子群有着相同的幺元

• 定理2（子群的判断定理1）：给定群<G，⊙>及非空H∈G
  <H，⊙>是<G，⊙>的子群当且仅当(任意a)(任意b)(a，b∈H→a⊙b∈H)∧(任意a)(a∈H→a^-1∈H)。

  • 1.H是G的子集

  • 2.H运算封闭

  • 3.H里的元素都存在逆元

• 定理3（子群的判定定理2）：给定群<G，⊙>及非空H包含于G，则
  <H，⊙>是<G，⊙>的子群<=>(任意a)(任意b)(a，b∈H→a⊙b^-1∈H)

• 定理4（子群的判定定理3）：给定群<G，⊙>及非空有限集H包含于G，则
  <H，⊙>是<G，⊙>的子群<=> (任意a)(任意b)(a，b∈H→a⊙b∈H)

  • 该定理说明，非空集合H是G的子集，只要H里的元素运算封闭，
    则群H是群G的子群

• 定理5：循环群<G，⊙>的任何子群都是循环群。

陪集

• 定义(左陪集)
  //元素左结合

  • 1.<H，⊙>是群<G，⊙>的子群且a∈G

  • 2. 则把下面集合：
       a⊙H = {a⊙h|h∈H}
       称为由元素a所确定的群<G，⊙>中的H的左陪集

  • 简称为左陪集 并 简记aH
    称a是左陪集aH的代表元素。

  • 左陪集是一种集合
    就是H中的元素和
    G中的元素左结合运算
    得到的集合

• 定义左陪集关系

  • 子群<H，⊙>的左陪集关系，记作

  • 定义为：CHl ：= {<a，b＞|a，b∈G∧b^-1⊙a∈H}。

  • 左陪集关系是一种等价关系

• 结论

  • 若<H，⊙>为群<G，⊙>的子群，则H为<G，⊙>中的左陪集。

    • 因为若e是<G，⊙>的幺元，则 e⊙H={e⊙h|h∈H}=H。

  • 若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，对任意a∈G，则a∈aH。

    • 因为e∈H，故a=a⊙e∈aH。

  • 若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，则H的每个左陪集与H的基数相同。

    • 令f∈(aH)<-H如下:
      f(h)= a⊙h， 其中h∈H
      则f是双射。

• 定理0：若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，则aH = H <=>a∈H。

• 定理1（判断两个左陪集是否相等）：若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，则 aH=bH <=> b^-1⊙a∈H

  • 推论：左陪集aH中的任何元素a1均可决定该陪集，
    或者说，陪集中的每个元素都可作为陪集的代表。

• 定理2：若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，则或者aH∩bH = ∅或者aH = bH。

• 定理3：若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，则<G，⊙>中的H的左陪集簇构成G的一种划分。
  并且称它为G的对于H的左陪集划分。（左陪集aH的元素个数与子群h数量相同）

拉格朗日定理

• 内容：若<H，⊙>是有限群<G，⊙>的子群，且|G| = n，|H| = m，则n = mk，其中k∈Z+，Z +是正整数集合。

  • 本定理表明，任何有限的群的阶均可被其子群的阶所整除

• 推论：任何其阶为素数的有限群必无真子群。

用陪集的概念来定义一个子群–正规子群或不变子群

• 定义：设<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，若对于G中任意元a，有aH = Ha，
  则称<H，⊙>是群<G，⊙>的正规子群。

  • 所以阿贝尔群是正规子群

• 定理1：给定群<G，⊙>的子群<H，⊙>，它是群<G，⊙>的正规子群 <=> (任意a)(a∈G → aHa^-1是H的子集)

• 定理2（左陪集关系是一种等价关系+一个条件）：群<G，⊙>的正规子群<H，⊙>所确定的左(或右)陪集关系 (或 )是同余关系

群同态

定义

定理1：设g为从群<G，⊙>到群<H，*>的群同态映射

• (1)若eG和eH分别为两群的幺元，那么，g(eG)= eH。

• (2) 若a∈G，那么，g(a^-1)=(g(a))-1。

• (3)若<S，⊙>是群<G，⊙>的子群且g(S)= {g(a)|a∈S}，那么，<g(S)，>为群<H，>的子群。

定理2：给定群<G，⊙>和代数系统<H，>，若g是从群<G，⊙>到<H，>的满同态映射，则<H，*>为群。

同态映射f的核

• 定义：设f是从群<G，⊙>到群<H，>的群同态映射，eH为<H，>的幺元，
  记Kf = {k|f(k)= eH∧k∈G}，称Kf为群同态映射f的核。
  显然，Kf ≠ ∅，因为eG∈Kf 。

• 定理1：若f是从<G，⊙>到<H，*>的群同态映射，则<Kf，⊙>是群<G，⊙>的正规子群。

• 定理2：设f是从<G，⊙>到<H，*>的群同态映射，则f是一对一的当且仅当Kf = {eG}。
  （一对一就是一个x对应一个y）

• 定理3：设f是从<G，⊙>到<H，*>的群同态映射，（Ckf ）为由同态f的核Kf所确定的陪集关系，则a（Ckf ）b <=> f(a)= f(b)，其中a，b∈G。

  • 本定理表明，群同态f的核Kf所确定的陪集关系与以前所述的同态f所诱导同余关系Ef是一致的。

定理3：

具有一个二元元运算

环与域

环

环的定义：给定代数系统<S，+，·>，其中+和·都是二元运算

• ①<S，+>是阿贝尔群(可交换群)

• ② <S，·>是半群

• ③ · 对于 + 是可分配的

• 称<S，+，·>是环

依据不同性质给环冠名

• 1.给定环<S，+，·>，若<S，·>是可交换半群，则称<S，+，·>是可交换环

• 2.若<S，·>是独异点，则称<S，+，·>是含幺环

• 3.若<S，·>满足等幂律，则称<S，+，·>是布尔环。

规定

• 幺元

  • 用0表示<S，+>的幺元

  • 用1表示<S，·>的幺元

• 逆元

  • 在<S，+>中，若a∈S，以-a表示a的加法逆元

  • 在<S，·>中，若a∈S的逆元存在，则以a^-1表示a的乘法逆元。

定理1:若<S，+，·>是环，则 (任意a)(a∈S → a·0 = 0·a = 0)。

定理2:(相关运算性质)

若<S，+，·>是环，则对a，b，c∈S

• 1） -(a·b)= a·(-b) =(-a)·b。

• 2）(-a)·(-b)= a·b

• 3）a·(b -c)= a·b -a·c

• 4）(b - c)·a = b·a - c·a

零因子

• 定义

  • 给定环<S，+，·>，则环<S，+，·>中有零因子：
    =(存在a)(存在b)(a，b∈S∧a ≠ 0∧b ≠ 0∧a·b = 0)，
    并称该环为含零因子环，a和b是零因子。
    注意：零因子其自身非零元。

• 定理1（判断无零因子）:

  • 给定环<S，+，·>，则<S，+，·>为无零因子环当且仅当<S，·>满足可约律

整环的定义:给定可交换含幺环<S，+，·>，若<S，+，·>无零因子，则称<S，+，·>为整环

• 整环是无零因子可交换含幺环或者说
  是满足可约律可交换含幺环

定理3：给定含幺环<S，+，·>且S≠{0}，则|S|≥2

• 只有一个元素的环，其零元与幺元才是同一个元素，
  即在环<{0}，+，·>中1=0， 否则0!=1。

子环

• 定义：给定环<S，+，·>和非空集合T是S的子集，若<T，+>是<S，+>的子群，<T，·>是<S，·>的子半群，则称<T，+，·>是<S，+，·>的子环。

  • (1) ∅ ≠ T 是 S 的子集
    (2) <T，+>是<S，+>的子群
    (3) T对·满足封闭性

• 定理1（判断是否是子环）

  • 给定环<S，+，·>及∅ ≠ T是S的子集，则<T，+，·>是<S，+，·>的子环 <=> (任意a)(任意b)(a，b∈T → a - b∈T∧a·b∈T)

  • 本定理表明<T，+，·>为<S，+，·>的子环的主要条件
    是T对减法运算封闭和T对乘法运算封闭。

环的同态

• 定义

  • 环同态意味着群同态与半群同态

• 同态映射f的核

域

定义

• 给定可交换环<S，+，·>，

• 若<S-{0}，·>为群

• 在交换环＋限制条件

定理1：<S，+，·>为域 =>(任意a)(任意b)(a，b∈S∧a·b=0→(a=0∨b=0))

定理2：<S，+，·>为无零因子环，若1≤|S|≤n，则<S，+，·>是域。

由于域是可交换含幺环，而且又知域中无零因子，所以域为整环。

但反之不真，即整环未必是域。但有限整环一定是域

具有两个二元运算

格与布尔代数

格

格偏序关系的理解

• 定义

  • 设<A，≤>是偏序集，如果任意a，b∈A，集合{a，b}的上确界sup(a，b)和下确界inf(a，b)都存在，则称<A，≤>是格

  • 如果<A，≤>是格，则<A，≥>也是格，并称<A，≥>是<A，≤>的对偶格。

• 上确界和下确界

  • 把求{a，b}的上确界和下确界看成集合A上的二元运算∨和∧

  • 用a∨b和a∧b分别表示a和b在格<A，≤>中的上确界和下确界

  • a≤a∨b，b≤a∨b和a∧b≤a，a∧b≤b

• 定理1 格的保序性：设<A，≤>是格, 则任意a，b，c，d∈A，若a≤b且c≤d，则
  a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d

• 定理2

• 定理3：设<A，≤>是格，则任意a，b∈A有
  a≤b <=> a∨b=b <=> a∧b=a

格代数系统的理解

• 定理4：设<A，∨，∧>是具有两个二元运算的代数系统，且运算∨和∧满足交换律、结合律、吸收律，
  则可以适当定义A中的偏序≤，使得<A，≤>构成格，且任意a，b∈A有a∨b= sup(a，b)，a∧b= inf(a，b)。

  • 在A中定义二元关系≤如下：
    ≤={<a，b>|a，b∈A且a∨b=a}
    或
    ≤={<a，b>|a，b∈A且a∧b=b}

• 格的等价定义：设<A，∨，∧>是具有两个二元运算的代数系统，
  如果运算∨和∧满足交换律、结合律、吸收律，
  则称<A，∨，∧>是格。

• 定理5：(格一般不满足交换律，但满足不等式)

  • 设<A，≤>是格, 则任意a，b，c∈A，有
    a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) ，
    a∧(b∨c) ≥(a∧b)∨(a∧c)

• 定义（对偶式）

• 定理6（格的对偶原理）

  • 设f和g是由格<A，≤>中元素，运算符号∨和∧所组成的关系式，则
    （1）若f≤g，那么g*≤f *。
    （2）若f=g，那么f =g。

• 子格

  • 定义

    • 代数系统理解：设<A，∨，∧>是格， B是A的非空子集，若B关于A中的运算∨和∧仍构成格，则称B是A的子格。

注意：<B，∨，∧>是<A，∨，∧>的子格当且仅当B在A的运算∨和∧下封闭

     *  偏序关系理解： 设<A，≤>是格， B是A的非空子集，
1

若对任意的a，b∈B，集合{a，b}在A中的上确界和下确界仍在B中，
则称B是A的子格。

• 格的同态

  • 定义：设<A，∨，∧>和<A′，∨′，∧′>是格，Ψ是从A到A′的映射，若任意a，b∈A都有
    Ψ(a∨b)= Ψ(a)∨′Ψ(b)，Ψ(a∧b)= Ψ(a) ∧′Ψ(b)
    则称Ψ是从A到A′的同态映射。

  • 定理1：设<A，∨，∧>和<A′，∨′，∧′>是格，Ψ是从A到A′的同态映射，B是A的子格，则Ψ(B)是A的子格。

  • 定理2：设<A，≤>和<A′，≤′>是格, Ψ是从A到A′的映射

    • (1)若Ψ是同态映射，则Ψ是保序映射，即任意a，b∈A，有 a≤b => Ψ(a)≤′Ψ(b)

    • (2)若Ψ是双射，则Ψ是同构映射当且仅当任意a，b∈A，有 a≤b <=> Ψ(a)≤′Ψ(b)

• 几种特殊的格

  • 有界格

    • 定义0：设<A，≤>是格， 如果A中存在两个元素，分别记为0和1，
      使得任意a∈A都有0≤a和a≤1，则称0是格A的下界，1是格A的上界，
      A是有界格，并记为<A，≤，0，1>。

    • 定理

      • （1）存在0，1∈A，使得任意a∈A有 0≤a，a≤1

      • （2）存在0，1∈A，使得任意a∈A有a∨0=a，a∧1=a

      • （3）存在0，1∈A，使得任意a∈A有a∨1=1，a∧0=0

    • 定义1(有界)

      • 设<A，∨，∧>是格， 如果A中存在两个元素，分别记为0和1，使得任意x∈A都有
        x∨0=x，x∧1=x
        则称0是格A的下界，1是格A的上界，A是有界格，并记为<A，∨，∧，0，1>。

      • 设<A，∨，∧>是格， 如果A中存在两个元素，分别记为0和1，使得x∈A都有
        x∨1=1，x∧0=0
        则称0是格A的下界，1是格A的上界，A是有界格，并记为<A，∨，∧，0，1>。

    • 定义2(补元)

      • 设<A，∨，∧，0，1>是有界格， 对于任意a∈A，如果存在元素b∈A，使得
        a∨b=1，a∧b=0
        则称元素b是元素a的补元，并记为a′=b。

  • 有补格

    • 设<A，≤，0，1>是有界格， 如果A中的每个元素都至少有一个补元，则称A为有补格。

  • 分配格

    • <A，∨，∧>是格，如果在A中分配律成立，即任意a，b，c∈A有
      a∨(b∧c) =(a∨b)∧(a∨c)，
      a∧(b∨c) =(a∧b) ∨(a∧c)
      则称A是分配格。

    • 定理1：设<A，∨，∧>是格，则A是分配格当且仅当A中不含有与五角格或钻石格同构的子格。

    • 定理2：设<A，∨，∧>是分配格，则任意a，b，c∈A有 a∨c =b∨c，a∧c =b∧c => a=b

    • 定理3：设<A，∨，∧>是有界分配格，若a∈A有补元b，则b是a的惟一补元。

      • 推论：如果一个格是有补分配格，则它的每一个元都有惟一的补元。

布尔代数

定义1：如果一个格既是有补格，又是分配格，则称它为布尔格或布尔代数。

在布尔代数中，每个元素都存在惟一的补元，这样可以把求补元看作是布尔代数中的一元运算。

从而可以把布尔代数标记为<B，∨，∧，′，0，1>，其中“ ′ ”为求补运算：任意a∈B，a′为a的补元，
∨，∧，′ 称为布尔运算，且运算∨和∧通常称为布尔和与布尔积。

逻辑代数或开关代数

• 设Bn=B×B×…×B（ 个），B={0，1}。为方便起见，我们把Bn的元素写成没有逗号的长度为n的位串形式，
  例如，x=110011和y=111000都是B6中的元素。Bn中的运算∨、∧和┐用各个分量定义，例如对于前面B6中的x和y有
  x∨y=111011，x∧y=110000，┐x=001100。
  这样<Bn，∨，∧，┐，000…0，111…1>构成布尔代数，通常称为逻辑代数或开关代数。

命题代数

• 设B是所有命题公式组成的集合，“∨”、“∧”和“┐”分别表示命题公式的合取、析取和否定运算，
  T和F分别代表永真式和永假式，则<B，∨，∧，┐，F，T >构成布尔代数，通常称为命题代数。

集合代数

• 集合S的幂集p(S)在集合的并运算∪、交运算∩和补运算~下构成布尔代数< p(S)，∪，∩，~ ，∅，S >，通常称为集合代数。

定理1：在布尔代数<B，∨，∧，′，0，1>中，德摩根律成立，即任意a，b∈B有

	(a∨b)′=a′∧b′，(a∧b)′=a′∨b′
1

定理2：设<B，∨，∧>是代数系统，∨、∧是两个二元运算，若运算∨、∧满足

• （1）交换律，即任意a，b∈B有a∨b=b∨a，∧b=b∧a

• （2）分配律，即a，b，c∈B有
  a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)

• （3）单位律，即存在元素，0，1∈B，使得a∈B有
  a∨0=a，a∧1=a

• （4）补元律，即a∈B存在a′∈B使得
  a∨a′=1，a∧a′=0

• 当满足的时候，该代数系统就是布尔代数

定义2：设<B，∨，∧>是具有两个二元运算的代数系统，如果运算∨和∧满足交换律、分配律、单位律和补元律，则称 是布尔代数。

定义3（有限的布尔代数）

• 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。

定义4（子布尔代数）

• 设<B，∨，∧，′，0，1>是布尔代数，S是B的非空子集。
  若S对运算∧、∨和′都封闭，且0，1∈S，则称S是B的子布尔代数

定义5（同态）

• 设<B，∨，∧，′，0，1>和<B′，∨′，∧′，′′，0′，1′>是两个布尔代数，Ψ是从B到B′的映射，
  若任意a，b∈B都有 Ψ(a∨b) =Ψ(a)∨′Ψ(b)
  Ψ(a∧b) = Ψ(a) ∧′Ψ(b)，Ψ(a) = Ψ(a′)
  则称Ψ是B到B′的同态映射。

定义6（原子）

• 设<A，≤>是一个格，且具有全下界0，如果有元素a盖住0，则称元素a为原子。

  • 格中若有原子a，b且a≠b，则必有a∧b=0

定理3：设<A，≤>是一个具有全下界0的有限格，则对于任何一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a≤b。

定理4：在一个布尔格中，b∧c′=0当且仅当b≤c。

定理5：设<A，∨，∧，′>是一个有限布尔代数，若b是A中任意非零元素，a1，a2，…，ak是A中满足aj≤b的所有原子(j=1,2,…,k)，则

        b=a1∨a2∨…∨ak
1

定理6：设<A，∨，∧，′>是一个有限布尔代数，b∈ A且b≠0，a1，a2，…，ak是满足aj≤b(j=1,2,…,k)的A中的所有原子，

         则b=a1∨a2∨…∨ak是将b表示为原子的并的惟一形式。
1

定理7： 在一个布尔格<A，≤>中，对A中的任意一个原子a和另一个非零元素b，a≤b和a≤b′两式中有且仅有一式成立。

定理8：设<A，∨，∧，′>是一个有限布尔代数，S是<A，∨，∧，′>中所有原子的集合，则<A，∨，∧，′>和<p(S)，∪，∩，‘ >同构。

• 推论1：有限布尔格的元素个数必定等于2^n，其中n是该布尔格中所有原子的个数。

• 推论2：任何一个具有2^n个元素的有限布尔代数都是同构的。