机器学习入门案例-鸢尾花_机器学习鸢尾花识别

机器学习入门案例-鸢尾花

简介：本文讲解一个机器学习里面的经典案例，鸢尾花，鸢尾花案例是指一种虚构的情景，假设我们在一片花园里寻找鸢尾花。这种花的特点是两种颜色的花瓣呈现出鸢尾的形状，即黑白相间，如阴阳符号一般。我们的目标是通过花瓣的形状和颜色来识别这种特殊的花朵。

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首先需要在jupyter中安装对应的环境。

pip install numpy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install matplotlib -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install pandas -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install sklearn -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
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数学公式

假设函数（Hypothesis Function）：

逻辑回归的假设函数使用sigmoid函数将线性函数的输出转换为0到1之间的概率值：

$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

其中，( z ) 是输入特征的线性组合，即：

$z={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\dots +{\theta }_n{x}_n$

损失函数（Loss Function）：

我们使用对数似然损失函数（log-likelihood loss function）来衡量模型预测与真实标签之间的差距：

$J(\theta )=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m[y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log (1-h_{\theta }(x^{(i)}))]$

其中，$h_{\theta }(x)$ 是假设函数，$y$是真实标签，$m$是样本数量。

参数更新：

我们使用梯度下降法来最小化损失函数，更新参数 $\theta$：

${\theta }_j={\theta }_j-\alpha \frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}$

其中，$\alpha$是学习率。

Sigmoid函数：

Sigmoid函数用于将线性函数的输出映射到0到1之间的概率值，其数学公式如下：

$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

实现代码

1. Sigmoid 函数：Sigmoid 函数用于将线性模型的输出转换为概率值，其公式如下：
   $\text{sigmoid}(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
   这里 ( z ) 是线性模型的输出，是输入特征的加权和加上偏置项。

2. 逻辑回归模型的线性模型：在逻辑回归模型中，线性模型的表达式为：
   $z=w_0+w_1\times X_1+w_2\times X_2+\dots +w_n\times X_n$
   其中，$w_0$ 是偏置项，$w_1,w_2,\dots ,w_n$ 是特征的权重参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是输入特征。

3. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）：最大似然估计是用来估计模型参数的方法之一，在这个代码中，通过最大似然估计来求解逻辑回归模型的参数。最大似然估计的目标是最大化观测数据的联合概率密度函数，这里是最大化观测数据的概率，即使得观测数据出现的概率最大。

4. 线性代数运算：代码中使用了一些线性代数运算，如矩阵的转置（X.T）、矩阵的乘法（X @ Y）、矩阵的逆（np.linalg.inv()）等。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X, y = iris.data[:, :2], (iris.target == 0).astype(int)  # 我们只使用两个特征和两个类别

# 绘制鸢尾花数据集分布图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X[y == 0][:, 0], X[y == 0][:, 1], label='Setosa (类别 0)', color='red', edgecolors='k')
plt.scatter(X[y == 1][:, 0], X[y == 1][:, 1], label='Non-Setosa (类别 1)', color='blue', edgecolors='k')

# 横轴（X轴）：花萼长度（单位：厘米）。花萼是鸢尾花的一个部分，位于花朵的底部，通常是一朵花的最外层。花萼长度是从花朵的底部到顶部的最长距离，以厘米为单位进行测量。
# 纵轴（Y轴）：花萼宽度（单位：厘米）。花萼宽度是花萼在最宽处的宽度，以厘米为单位进行测量。
plt.xlabel('花萼长度 (cm)')
plt.ylabel('花萼宽度 (cm)')
plt.title('鸢尾花数据集分布图')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 简单的逻辑回归实现
class LogisticRegression:
    def __init__(self):
        self.weights = None

    # Sigmoid函数
    def sigmoid(self, z):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))

    # 拟合（训练）逻辑回归模型
    def fit(self, X, y):
        num_samples, num_features = X.shape
        self.weights = np.zeros(num_features + 1)  # 初始化参数为0，加1是因为需要加上偏置项
        X = np.hstack((np.ones((num_samples, 1)), X))  # 加入偏置项，即全部置为1

        # 使用最大似然估计求解参数（此处没有使用梯度下降，而是直接求解参数）
        self.weights = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y

    # 预测新样本的类别
    def predict(self, X):
        num_samples = X.shape[0]
        X = np.hstack((np.ones((num_samples, 1)), X))  # 加入偏置项

        # 计算线性模型的输出，并将其通过Sigmoid函数转换为概率
        linear_model = X @ self.weights
        y_predicted = self.sigmoid(linear_model)
        # 将概率值转换为类别标签（0或1）
        y_predicted_cls = [1 if i > 0.5 else 0 for i in y_predicted]
        return np.array(y_predicted_cls)

# 实例化和拟合逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测测试集样本的类别
y_pred_test = model.predict(X_test)

# 计算测试集准确率
test_accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred_test)
print(f"测试集准确率: {test_accuracy:.2f}")

# 在训练集和测试集上进行预测
train_predictions = model.predict(X_train)
test_predictions = model.predict(X_test)

# 计算逻辑回归模型的准确率
train_accuracy = accuracy_score(y_train, train_predictions)
test_accuracy = accuracy_score(y_test, test_predictions)

print("\n逻辑回归模型 - 训练集准确率:", train_accuracy)
print("逻辑回归模型 - 测试集准确率:", test_accuracy)

# 计算MSE
train_mse = mean_squared_error(y_train, train_predictions)
test_mse = mean_squared_error(y_test, test_predictions)
print("\n逻辑回归模型 - 训练集 MSE:", train_mse)
print("逻辑回归模型 - 测试集 MSE:", test_mse)

# 输出训练得到的参数
print("\n逻辑回归模型参数:", model.weights)

# 输出逻辑回归模型的表达式
print("逻辑回归模型公式: y = ", end='')
for i, w in enumerate(model.weights):
    if i == 0:
        print(f"{w:.2f}", end='')
    else:
        print(f" + {w:.2f} * X[{i}]", end='')
print()

import matplotlib.pyplot as plt

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.family'] = ['Arial Unicode MS']

# 绘制逻辑回归模型的预测结果轮廓图
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 生成网格点
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(X[:, 0].min(), X[:, 0].max(), 100),
                     np.linspace(X[:, 1].min(), X[:, 1].max(), 100))

# 使用模型预测网格点的类别
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

# 绘制轮廓图
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.coolwarm, alpha=0.8)

# 绘制训练集和测试集的真实结果
plt.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap='coolwarm', label='训练集真实结果')
plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c=y_test, cmap='coolwarm', marker='x', label='测试集真实结果')

plt.xlabel('花萼长度 (cm)')
plt.ylabel('花萼宽度 (cm)')
plt.title('鸢尾花逻辑回归模型预测结果轮廓图')
plt.colorbar(label='类别')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


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• 运行结果

• 运行结果分析

• 测试集准确率为0.63，这表示模型在未见过的数据上的预测准确率为63%。
• 训练集准确率为0.53，这表示模型在训练集上的预测准确率为53%。
• 训练集 MSE 为0.47，测试集 MSE 为0.37，这些是模型在训练集和测试集上的均方误差，即模型预测值与实际值之间的平方差的均值。

逻辑回归模型参数为：

• 偏置项为0.72。
• 特征1的系数为-0.37。
• 特征2的系数为0.58。

逻辑回归模型的表达式为：$y=0.72-0.37\times X[1]+0.58\times X[2]$

这个表达式描述了模型如何根据输入特征 $X[1]$ 和 $X[2]$ 来预测输出类别 $y$。

根据给定的参数：

• 偏置项为 0.72 (β₀ = 0.72)
• 特征1的系数为 -0.37 (β₁ = -0.37)
• 特征2的系数为 0.58 (β₂ = 0.58)

我们可以代入逻辑回归模型公式计算类别 0 和类别 1 的概率。

逻辑回归模型的公式为：

$P(\text{类别 0})=\frac{1}{1+e^{-({\beta }_0+{\beta }_1\times \text{特征1}+{\beta }_2\times \text{特征2})}}$

$P(\text{类别 1})=1-P(\text{类别 0})$

假设我们有以下特征值：

• 花萼长度 (特征1) = 5.0 cm
• 花萼宽度 (特征2) = 3.5 cm

代入公式进行计算：

$P(\text{类别 0})=\frac{1}{1+e^{-(0.72-0.37\times 5.0+0.58\times 3.5)}}$

$P(\text{类别 1})=1-P(\text{类别 0})$

• 计算演示

首先，我们计算线性模型的输出：

$z={\beta }_0+{\beta }_1\times \text{特征1}+{\beta }_2\times \text{特征2}$
$z=0.72-0.37\times 5.0+0.58\times 3.5$

$z=0.72-1.85+2.03$

$z=0.72-1.85+2.03=0.9$

然后，我们将$z$的值代入 sigmoid 函数计算类别 0 的概率：

$P(\text{类别 0})=\frac{1}{1+e^{-z}}$

$P(\text{类别 0})=\frac{1}{1+e^{-0.9}}$

$P(\text{类别 0})\approx \frac{1}{1+e^{-0.9}}\approx \frac{1}{1+0.4065697}\approx \frac{1}{1.4065697}\approx 0.7116$

最后，我们计算类别 1 的概率：

$P(\text{类别 1})=1-P(\text{类别 0})$

$P(\text{类别 1})=1-0.7116=0.2884$

因此，根据给定的参数和特征值，类别 0 的概率约为 0.7116，而类别 1 的概率约为 0.2884。