P2638 安全系统【数学】

安全系统

题目描述

特斯拉公司的六位密码被轻松破解后，引发了人们对电动车的安全性能的怀疑。李华听闻后，自己设计了一套密码：

• 假设安全系统中有 $n$ 个储存区，每个储存区最多能存储存 $2$ 个种类不同的信号（可以不储存任何信号）。有 $0$ 和 $1$ 这两种信号，其中 $0$ 有 $a$ 个，$1$ 有 $b$ 个，单独一个 $0$ 或 $1$ 算一个信号。现要将这些信号储存在储存区中，$0$ 和 $1$ 可以不用全部储存，一个存储区可以存放任意多个 $0$ 和任意多个 $1$。一种不同的储存方案经过李华处理后就将是一串不同的密码。

现在给出 $n,a,b$，求可能的不同储存方案的个数。

输入格式

第一行：共 $3$ 个整数，$n,a,b$。

输出格式

第一行：一个整数，表示方案个数。

样例 #1

样例输入 #1

2 1 1
1

样例输出 #1

9
1

提示

所有 $9$ 种方案如下：

对于全部数据，$a,b\le 50$，$n+a\le 50$，$n+b\le 50$。

$\text{upd 2022.10.22}$：新增加一组 Hack 数据。

问题链接： P2638 安全系统
问题分析： 数学问题。用64位无符号整数来计算，虽然得100分，对于新增加一组 Hack 数据，没有通过。用128位整数来计算可以AC。
参考链接： （略）
题记： （略）

AC的C++语言程序如下：

/* P2638 安全系统 */

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef __int128_t U128;

template <typename T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) {
        x = ~(x - 1);
        putchar('-');
    }
    if (x >= 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

// 计算二项式
U128 bino(int n, int r)
{
    U128 ans = 1;
    for (int i = 1; i <= r; i++)
        ans *= n - i + 1, ans /= i;
    return ans;
}

int main()
{
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    write(bino(a + n, n) * bino(b + n, n));
    return 0;
}
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100分（没有AC）的C++语言程序如下：

/* P2638 安全系统 */

#include <iostream>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

// 计算二项式
ULL bino(int n, int r)
{
    ULL ans = 1;
    for (int i = 1; i <= r; i++) 
        ans *= n - i + 1, ans /= i;
    return ans;
}

int main()
{
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    cout << bino(a + n, n) * bino(b + n, n);
    return 0;
}
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