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信号处理（二）——每比特6dB的信噪比是怎么来的_量化样本每增加一位,信噪比提高6db

作者：小舞很执着 | 2024-07-03 11:25:25

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量化样本每增加一位,信噪比提高6db

摘要：对AD转换过程中的量化加以解释，给了了量化误差的均值与均方根方差，给出了量化时信噪比的计算公式，并通过例子来加以说明。

声明：本文章参考了《Introduction to Signal Processing》一书，作者：Sophocles J.Orfanidis ，特此声明。
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一、量化过程

接上一文章，经过采样保持器后的离散时间序列 $x(nT)$ 经过量化后得到数字信号 $x_{Q}(nT)$ ，这个数字信号用 $B$ 个比特位来表示。假设量程的信号幅度为 $R$ ，在均匀量化时，实则将 $R$ 平均分为 $2^{B}$ 个不同的量化“带”，但要注意在表示的时候只能选用“带”上沿或下沿的量化电平值来表示。如图1所示，给出了进行3bit量化的情形。量化的粒度（或量化器的分辨率）为

$Q=\frac{R}{2^{B}}$ (1)

这里总结三点：

（1）量化时有四舍五入（rounding）和截断（truncation）两种方法：四舍五入就是采用最近的量化电平来代替 $x$ ，即当 $-Q/2<x<Q/2$ 时，取量化电平0，当 $Q/2<x<3Q/2$ 时，取量化电平为1；截断就是采用低于 $x$ 的量化电平来代表 $x$ ，即当 $0\leqslant x<Q$ 时，取量化电平0，当 $Q\leqslant x<2Q$ 时，取量化电平为1；

（2）整个量程范围为 $R$ （满量程），单极性时为 $0\leqslant x<R$ ，双极性时为 $-R/2\leqslant x<R/2$ ，道理类似；

（3）以图1的3bit双极性量化为例， $-R/2\leqslant x<R/2$ 之间被平均分为8条“带”，能取到的理化电平值也是8个，分别是{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3}，注意没有+4，可见量化时，最小值可以是 $-R/2$ ，但最大值只能是 $R/2-Q$

二、量化误差

量化误差

$e(n) = x_{Q}(n)-x(n) \;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

下面计算四舍五入量化时，量化误差的均值和均方根误差：

$-\frac{Q}{2}<e<\frac{Q}{2}$

$\overline{e}=\frac{1}{Q}\int_{-Q/2}^{Q/2}e\;de=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

$\overline{e^{2}}=\frac{1}{Q}\int_{-Q/2}^{Q/2}e^{2}\;de=\frac{Q^{2}}{12}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$

$e_{rms}=\sqrt{\overline{e^{2}}}=\frac{Q}{\sqrt{12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$

对上述均值和方差的获得方法，也可以将 $e$ 看成一个符合均匀分布的随机变量求得。

三、信噪比计算

经常会听到，“每比特6dB”，什么意思，怎么来的呢？

由（1）式， $R$ 是信号幅度，而 $Q$ 为量化噪声，有如下重要公式

$SNR=20\log_{10}\frac{R}{Q}=20\log_{10}2^{B}=B\cdot 20\log_{10}2=6B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$

过程似乎有点太过简单了，式（6）也被称为量化器的动态范围，就说，当量化器每增加1bit时，其信噪比就提升6个dB。怎么理解呢：在变换为数字信号过程中，由于有限字长的限制，会带来信号信噪比的下降，这里的“噪”特指量化噪声，不是传统的那种信道中引入的加性或乘性噪声。如果无限字长（无限精度），则量化噪声为0，这时信噪比也就是无限大的，即信号不受损失。

公式（1）~（6）就是我们在选择AD转换器位长的依据，下面举例来说明。

四、例子

在数字音频的应用中，比如要求满量程电压是10V，量化噪声的有效值不能超过50uV，这时由公式（1）和（5）有：

实际上选用 $B=16$ ，可以算出实际的量化噪声有效值是44uV。当采用 $f_{s}=44\mathrm{kHz}$ 的采样率时，采样的位速率为 $Bf_{s}=16\times 44=704\: \mathrm{kbit/s}$ ，这是CD唱机典型的位速率。量化器动态范围是6B=96dB,也接近于人耳100dB的动态范围，这也是CD为什么要进行16比特量化的原因。

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