信道检测手机软件 ios_3.2、《无线通信基础》--点对点通信：检测、分集与信道的不确定性--时间分集...

信道的相干时间一般会持续几十到几百个码元时间，意味着在相干时间内的信道衰落h保持不变，那这听起来是不是一件好事呢？其实不然，相干时间再长也是有限的，信道衰落仍然是随机变量，我们之前分析过平均的误码性能仍然是和信噪比成反比。

3.2.1 重复编码

首先来介绍一下交织技术：
当我们连续发射L个相同的码元，如何保持L个码元的信道衰落都不同呢（不相关），假设我们处于平坦衰落信道中（意味着我们不考虑信号的时延），且信道的相干时间为两个码元时间
所以在连续四个码元周期内信道衰落为：

发射两个码字

每一个码字是重复发射的两个码元，如我们只是连续的发射

，显然

的两个码元经历的信道衰落是相同的，但是我们交织以后发射

,

的两个码元在第1和第3码元时刻发射出去，经历了不同的信道衰落过程。

这样做有什么好处呢，因为信道有很大概率处于深度衰落状态，采用交织技术保障：只要重复编码足够长，总有一个码元大概率分量不会处于深度衰落。这是非常聪明且有效的做法，如图3.2.1所示，第三个相干周期处于深度衰落，如果不采用交织技术，码字

的四个重复的码元都因为深度衰落消失，采用交织技术以后，虽然四个码字都分别有一个码元消失，好在每个码字还有三个码字被成功接收。

接下来我们的讨论就是在采用交织技术后，等价于一个码字连续发射L个相同码元，每个码元都处于不同的信道衰落状态

现在接受的信号是一个维度为L的矢量 ，下面考虑相干检测（即已经知道信道状态向量

），最开始很容易想到我们个L个接收信号独立解调，再加起来（等价于平均）应该效果不错，实际上也是差不多的方法

1、 对每个独立的码元分别获取接收统计量

2、 将L个统计分量求和，再保持总接收噪声功率不变

另外一种更直观的观察到

的含义是是在向量

方向上加权

后再加上噪声，译码时应该将

投影到

方向上的单位向量上

接受机对各路信号进行加权，然后再合并使得输出信噪比最大，这就是最大合并器，这样便转换成了一个标量衰落信道，噪声规律没有发生变化（

功率仍然是

），但是信道增益系数变大了（由标量hi，变为向量的模值

），我们称这样的增益是分集带来的。由图3.2.2明确可以看出随着L的增大，

较小的概率非常低，换句话说

的值一般是较大的。

考虑BPSK调制，得出错误概率

根据假设，各信道增益

，所以

是自由度为2L的

分布,

的概率密度

为什么是这样的分布呢？

于是

是2L个方差为1的独立高斯变量之和，显然就是

分布

以上是对于一个码字的错误概率，同样的再计算平均错误概率

经过不太简单的计算可以得到更加直观的近似表达式

还记得我们的目标吗？减少乘积系数k、增大反比项的指数L，后者的确是达到了。相比较指数项衰减，我们认为常系数作用有限，因为随着信噪比的增大，系数k的作用会减弱。

典型的差错事件是信道处于深度衰落，发生的概率

我们也能得到近似表达式

差错概率与深度衰落概率是同一个数量级，依然验证了之前的结论：衰落信道出现差错就是因为出现深度衰落。我们称L为分集增益。

3.2.2超越重复编码

前面讨论的重复编码只是对相同的码元的L个重复，可以获得分集增益，但是却没有完全利用信道的全部自由度，正如前面所述自由度本质上都是指码字空间的维度，而这里的码字空间：由L个码元时间组成的L位重复编码向量组成的向量空间。很显然这个向量空间维数为1 ，因为码字空间只有唯一的一个基向量

，很自然想到长度为L的向量组成的向量空间最多有L维，所以自由度是可以提高的。

这里以旋转编码为例，且L=2的情况下，自由度为2，发射的码字有四个

其中R为旋转矩阵

在图3.2.3的图（a）上非常明确的看出不同的

可以产生不同的码字，而且所有的码字的能量也是相同的，码字空间是二维的，所以自由度是2。

计算准确的差错概率是非常困难的，也没有必要，因为我们知道近似值更直观，我们只需要差错概率的数量级。这里讨论一致界，根据对称性，我们假设发射的码字为xA，一致界指的是

其中

指的是当仅有这两个发射码元时，将发射的xa判决正xb的概率，称为

实际上，发射xA时的误码率应该是

因为

的概率包括了离xc更接近但是由于只有xa和xb，我们只能判决成xb。所以

三种情况下都是有重叠的。那这个一致界是不是紧的呢？显然如果

两两之间的距离相同时不等式取得等号，虽然在二维空间里面这个上界达不到，但是这个一致界是随着信噪比渐进可达的，在数量级上是相同的，因为一致界存在且有限（小于3），实际误码率也是有限且不会无限小，所以必然是同一个数量级（比值有极限）。

这里我们做一个小测试
发送150个旋转编码后的xa，计算实际的误差性能以及一致界，再将实际误差性能比上一致界，我们发现基本上在样本数量大于50以后，这个比值基本上保持不变了，如图3.2.4所示。
我们再来测试上界是渐进可达的，随着信噪比的增加实际误差概率和一致界的比值趋近于1，如图3.2.5所示，所以一致界是紧的，至少与实际误差概率是同一数量级的。

%误码率与一致界的关系，MATLAB验证代码

至此，我们的逻辑是，一致界和误码率属于同一数量级，随着信噪比增加，一致界会趋近由于误码率，所以我们就把一致界当做误码率。

我们来分析一致界，在信道增益分别为h1和h2时，等效的码元信号

根据前面总结的公式，

这里的d是归一化码字距离，信号幅度a收到SNR中去了，我们只考虑d本身的影响。

利用不等式

，同时对h1，h2取期望，可以得到

观察上面这个上限，

我们已经很熟悉了，是分集带来的，我们称

为xa和xb之间的平方积距离（即以xa，xb连线为对角线的矩形面积平方），平方积距离也能改善误码性能，我们合并所有的成对差错概率，得到实际误码率的上界

尽管我们取了特别多的近似，不断地放大上界，但是根据前面分析这些上界都是随着SNR增大渐进可达的，显然如果最小平方积距离

足够大我们也能得到较小的差错概率，所以我们称最小平方积距离确定了

这里我们得到了时间分集码的一个设计准则：使得码字的平方积距离最大。所以我们知道了为什么旋转编码要比重复编码好呢，同样的编码速率，每两个码元时间接收一个码元，信噪比也是相同的，但是旋转编码利用了更多的自由度，四个码字在空间中摆放的位置不同，导致不同的最小平方积距离，正如前面比较的QPSK和4PAM的能量效率，高维码字空间的能量利用率更高，换句话说就是：相同的能量利用率（信噪比相同）时，高维码字空间的性能更好（误码率更低）。

至此我们得到了两个增益：由多路信号带来的分集增益，表现在误差概率的分母SNR的指数上；以及由于编码方式带来的编码增益，表现在误差概率前的系数上。