【动态规划入门】完全背包问题_完全背包二维dp代码

一、题目描述

有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

示例如下：

输入：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出：10
1
2
3
4
5
6
7

 

二、思路

  完全背包问题相比于01背包问题，区别在于每个物品可以有无限种。

• 思路一：二维dp版本
  和01背包的区别在于递推公式上：

  算上物品i：由dp[i][j-a[i]]+b[i]推出

	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-a[i]]+b[i]) ;
1

• 思路二：一维数组版本
  背包问题的状态都是可以压缩的。在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i]);其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - a[i]] + b[i]);与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

 

三、C++代码

二维dp版本

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//完全背包问题-二维数组版本 
#define maxn 1010
int a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn][maxn];  //定义dp数组,dp[i][j]表示的是前i件物品背包容量为j时的最大价值

int main(){
	
	int N,V;
	cin>>N>>V;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cin>>a[i]>>b[i];
	} 
	
	
	//dp数组初始化
	for(int j=1;j<=V;j++){
	    if(j>=a[1]){
			dp[1][j]=b[1];
	    }else{
			dp[1][j]=0;
	    }
	} 
	
	//确定dp数组的遍历顺序
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=V;j++){
			if(j>=a[i]){    //不算上第i件物品 and 算上第i件物品 
					dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-a[i]]+b[i]) ;
			   } else{             //当前容量 j不能买此物品i ,此时dp[i][j]应该为前i-1件物品容量为j时价值量 
			    	dp[i][j]=dp[i-1][j];
			   }
		}
	} 
    
	
	cout<<dp[N][V];
	
} 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

一维数组版本

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//完全背包问题-一维数组版本 
#define maxn 1010
int a[maxn],b[maxn];//数组a表示的是物品的重量，数组b表示的是物品的价值 
int f[maxn];  //定义f数组,f[j]表示的是背包容量为j时的最大价值
int main(){
	
	int N,V;
	cin>>N>>V;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cin>>a[i]>>b[i];
	} 
		
	//确定dp数组的遍历顺序
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=a[i];j<=V;j++){
	          f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);
		}
	} 
    
	
	cout<<f[V];
	
} 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26