七大查找之斐波那契查找_斐波那契搜索

1.基本思想

斐波那契搜索(Fibonacci search) ，又称斐波那契查找，是区间中单峰函数的搜索技术。斐波那契查找就是在二分查找的基础上根据斐波那契数列进行分割的。（mid的关系式不同）

斐波那契查找同样是查找算法家族中的一员，它要求数据是有序的（升序或降序）。斐波那契查找采用和二分查找/插值查找相似的区间分割策略，都是通过不断的分割区间缩小搜索的范围 。（分治法）

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为 “兔子数列”。

如下图所示，就是一个斐波那契数列：

在数学上，斐波那契数列被以如下递推的方法定义：
$$F(0)=0,F(1)=1$$

$$F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n\ge 2,n\in N\ast )$$
从斐波那契的递推公式我们可以总结出重要一点：斐波那契数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

如上图所示：

F[k]-1是待搜索的数组中数组的长度，之所以使F[k]-1为数组的长度目的是满足以下关系式：
$$F(n)-1=F(n-1)-1+F(n-2)-1(n\ge 2,n\in N\ast )$$
以实现mid将一个数组分为两个数组

正是上面这样的区间分割想法，使斐波那契数列和数组联系到了一起。这种分割思想亦是斐波那契查找算法的基础。

斐波那契查找算法相对于二分查找和插值查找的基本思路是一致的，其中最重要的区别就是它们的查找点（或称中间值）的确定。斐波那契查找算法的查找点的计算公式如下：
$$mid=left+F(n-1)-1$$
所以，斐波那契查找和二分查找或插值查找没有本质的区别，都是对待搜索的数组进行分割，分割的边界就是mid的值。只不过mid值生成方程式不同。

2.算法步骤

从上面我们知道了斐波那契查找算法的基本思想，根据它的基本思想，斐波那契查找的基本步骤可以分为以下几步：

1. 构建斐波那契数列
2. 找出查找表长度对应的斐波那契数列中的元素 F(n)
3. 如果查找表长度小于斐波那契数列中对应的元素 F(n) 的值，则补充查找表（以查找表最后一个元素补充）（扩充元素）
4. 根据斐波那契数列特点对查找表进行区间分隔，确定查找点 mid = left+F(n-1)-1（减 1 的原因在基本思想中已经解释了）
5. 判断中间值 arr[mid] 和目标值的关系，确定下一步策略：
   如果目标值小于中间值，说明目标值在左区间。由于左区间长度为 F(n-1)，因此 n 应该更新为 n-1，然后再次执行 4、5 两步。
   如果目标值大于中间值，说明目标值在右区间。由于右区间长度为 F(n-2)，因此 n 应该更新为 n-2，然后再次执行 4、5 两步
6. 如果目标值等于中间值，说明找到了目标值。但此时还需判别该目标值是原查找表中的元素还是填充元素：
   如果是原查找表中的元素，直接返回索引；
7. 如果是填充元素，则返回原查找表的最后一个元素的索引，即 arr.length-1。（因为扩展数组是以原查找表最后一个元素来填充，如果目标值是填充元素，则说明原查找表最后一个元素值就是目标值）

3.代码实现

3.1.算法实现

/*构造一个斐波那契数组*/
void Fibonacci(int* F)
{
    F[0] = 0;
    F[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX_SIZE; ++i)
        F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
}
/*定义斐波那契查找法*/
int FibonacciSearch(int* a, int n, int key)  //a为要查找的数组,n为要查找的数组长度,key为要查找的关键字
{
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    int k = 0;
    int F[MAX_SIZE] = {0};

    Fibonacci(F);//构造一个斐波那契数组F 

    while (n > F[k] - 1)//计算n位于斐波那契数列的位置
        ++k;
    int* temp;//将数组a扩展到F[k]-1的长度
    temp = malloc(sizeof(int)*(F[k]-1));
    memcpy(temp, a, n * sizeof(int));//将a中的元素进行拷贝至temp

    for (int i = n; i < F[k] - 1; ++i)//填充数组
        temp[i] = a[n - 1];

    while (low <= high)//终止条件和二分查找一致
    {
        int mid = low + F[k - 1] - 1;//递推关系式，获取mid值
        if (key < temp[mid])
        {
            high = mid - 1;
            k -= 1;
        }
        else if (key > temp[mid])
        {
            low = mid + 1;
            k -= 2;
        }
        else
        {
            free(temp);//记得free
            if (mid < n)
                return mid; //若相等则说明mid即为查找到的位置
            else
                return n - 1; //若mid>=n则说明是扩展的数值,返回n-1
        }
    }
    free(temp);//记得free
    return -1;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52

3.2.测试程序

#define MAX_SIZE 20
void main()
{
    int a[] = {0,16,24,35,47,59,62,73,88,99};//待搜索的数组
    int key = 59;//在数组中的位置为5
    int index = FibonacciSearch(a, sizeof(a) / sizeof(int), key);
    printf("FibonacciSearch positino %d\n", index);
    system("pause");
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9

4.实验结果