[机器学习原理]泊松回归

需要泊松回归的原因

对因变量是离散型变量的问题建模时，普通的线性回归模型、定序回归模型和逻辑回归模型已经能解决我们大部分的需求。但有一类特殊的因变量记录某个特定事件出现的次数（有序的非负整数），它们被称之为“计数数据”。如果我们按照普通的线性回归模型建模：
$$freq={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+ϵ$$
虽然等号两边都是具有数值意义的实数，但是等号右边可以是任意连续值，但是等号左边只能是非负实数（计数数据）。因此普通的线性回归模型是无法对计数数据建模的。

泊松回归的假设&模型建立

为了拟合计数数据，我们可以根据泊松分布做出如下假设：

1. 任意相等时间间隔内，事件的平均出现次数是固定的
2. 任给的两次等待时间是否发生事件是相互独立的

根据如上假设，我们可以设定事件在单位时间内发生$k$次的概率为：
P ( f r e q = k ) = λ k k ! e x p { − λ } P(freq = k) = \frac{\lambda^k}{k!}exp\{-\lambda\} P(freq=k)=k!λk​exp{−λ}
其中$\lambda =E(freq)$表示单位时间内事件发生次数的期望。

注意虽然单位时间内事件发生次数$k$只能是非负整数，但是期望$\lambda$却可以是小数。

因为$\lambda$是连续的，因此我们可以直接考虑自变量和$\lambda$之间的关系，另外考虑到$\lambda$是非负实数，我们可以建立线性回归模型：
l o g { λ } = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β p x p log\{\lambda\} = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 +...+ \beta_px_p log{λ}=β0​+β1​x1​+β2​x2​+...+βp​xp​

参数估计

假设$(x_i,k_i)$是第$i$个样本的观测，其中$x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{ip})$表示自变量向量，$k_i$表示因变量（即样本在单位时间内出现的次数）。根据假定的模型，我们可以得到该样本的概率为：
λ ( x i ) k i k i ! e x p { − λ ( x i ) } \frac{\lambda (x_i)^{k_i}}{k_i!} exp\{-\lambda(x_i) \} ki​!λ(xi​)ki​​exp{−λ(xi​)}
l o g { λ ( x i ) } = β 0 + β 1 x i 1 + β 2 x i 2 + . . . + β p x i p log\{\lambda(x_i)\} = \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} +...+ \beta_px_{ip} log{λ(xi​)}=β0​+β1​xi1​+β2​xi2​+...+βp​xip​
根据所有样本，我们计算出整个样本集的似然函数：
L ( Θ ) = ∏ i = 1 n λ ( x i ) k i k i ! e x p { − λ ( x i ) } L(\Theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda(x_i)^{k_i}}{k_i!} exp\{-\lambda(x_i) \} L(Θ)=i=1∏n​ki​!λ(xi​)ki​​exp{−λ(xi​)}
其中$\Theta =({\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_p{)}^{\prime }$表示参数向量，取对数后得到表达式：
l o g { L ( Θ ) } = ∑ i = 1 n [ k i l o g { λ ( x i ) } − l o g { k i ! } − λ ( x i ) ] log\{L(\Theta)\} = \sum_{i=1}^{n}[k_ilog\{\lambda (x_i)\} - log\{k_i!\} - \lambda(x_i)] log{L(Θ)}=i=1∑n​[ki​log{λ(xi​)}−log{ki​!}−λ(xi​)]
对“对数似然函数”求极值后我们可以得到参数估计值，记为$\hat{\Theta }=({\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,...,{\hat{\beta }}_p{)}^{\prime }$

检验统计量

泊松回归模型中${\hat{\beta }}_i$的真实分布是未知的，但是基于中心极限定理，${\hat{\beta }}_i$将近似服从正态分布：
$$\frac{{\hat{\beta }}_j-{\beta }_j}{\sqrt{var({\hat{\beta }}_j)}}=\frac{{\hat{\beta }}_j-{\beta }_j}{\sigma ({\hat{\beta }}_j)}\sim N(0,1),j=0,1,...,p$$
因此只要我们能准确地估计${\hat{\beta }}_j$的标准差$\sigma ({\hat{\beta }}_j)$，我们就可以构造如下检验统计量对各个自变量的显著性进行检验：
$$T_j=\frac{{\hat{\beta }}_j}{\hat{\sigma }({\hat{\beta }}_j)}$$
在原假设成立的情况下，该检验统计量近似服从标准正态分布。因此对于给定的显著性水平如$0.05$，我们可以根据$T_j$的绝对值是否大于$z_{0.975}$来决定是否拒绝原假设。

如果需要检验模型的整体显著性水平，我们可以使用似然比检验，其统计量为：
γ = − 2 × ( max ⁡ β 0 l o g { L ( β 0 , β = 0 ) } − max ⁡ ( β 0 , β ) l o g { L ( β 0 , β ) } ) \gamma = -2 \times(\max_{\beta_0} log\{L(\beta_0, \beta=0)\} - \max_{(\beta_0, \beta)} log\{L(\beta_0, \beta)\}) γ=−2×(β0​max​log{L(β0​,β=0)}−(β0​,β)max​log{L(β0​,β)})

这里乘上系数主要是方便构造具有特殊分布的检验统计量，属于统计推断中的常见做法。

其中$\beta =({\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_p{)}^{\prime }$表示长度为$p$自变量系数向量。当原假设成立且样本量足够大时$\gamma$近似服从自由度为$P$的卡方分布，自此我们即可完成模型整体显著性水平的检验。