【高等数学】第一章 函数与极限——第四节 无穷大与无穷小_函数无穷小与无穷大

1. 无穷小

1.1. 无穷小的定义

如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零
那么称$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小

• 无穷小不是很小的数，而是一种函数，当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时，这个函数的绝对值小于任意给定的正数$\epsilon$

1.2. 无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小

2. 无穷大

2.1. 无穷大的定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义（或$|x|$大于某一正数时有定义）
如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式$|f(x)|>M$
那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大

• 按函数极限的定义来说，当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大的函数$f(x)$的极限是不存在的，但为了便于叙述函数这一性态，我们也说函数的极限是无穷大，并记作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty (或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty )$$
  如果在无穷大的定义中，把$|f(x)|>M$换成$f(x)>M(或f(x)<-M)$，就记作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty (或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=+\infty )$$或$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty (或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty )$$
• 几何意义
  直线$x=x_0$是函数$y=f(x)$图形的铅直渐近线

2.2. 无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中
如果$f(x)$为无穷大
那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；
如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)\ne 0$
那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大