突出最强算法模型——回归算法 ！！

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1、特征工程的重要性

特征选择是指从所有可用的特征中选择最相关和最有用的特征，以用于模型的训练和预测。而特征工程则涉及对原始数据进行预处理和转换，以便更好地适应模型的需求，包括特征缩放、特征变换、特征衍生等操作。

那么，为什么这两个步骤如此重要呢？从以下4个方面概括：

（1）提高模型性能：通过选择最相关的特征和对特征进行适当的工程处理，可以提高模型的性能。过多的不相关特征会增加模型的复杂性，降低模型的泛化能力，导致过拟合。而合适的特征工程可以帮助模型更好地理解数据的结构和关系，提高模型的准确性。

（2）降低计算成本：在实际的数据集中，可能存在大量的特征，而并非所有特征都对预测目标具有重要影响。通过特征选择，可以减少模型训练的计算成本和时间消耗，提高模型的效率。

（3）减少过拟合风险：过拟合是模型在训练数据上表现很好，但在新数据上表现不佳的现象。特征选择和特征工程可以帮助降低过拟合的风险，使模型更加泛化到未见过的数据上。

（4）提高模型的解释性：经过特征选择和特征工程处理的模型，其特征更加清晰明了，更容易理解和解释。这对于实际应用中的决策和解释至关重要。

常用的特征选择方向包括基于统计检验、正则化方法、基于树模型的方法等；而特征工程则涉及到缺失值处理、标准化、归一化、编码、特征组合、降维等技术。

下面举一个简单的案例，在代码中进行特征选择和特征工程，结合上面所说以及代码中的注释进行理解~

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.feature_selection import SelectKBest, f_regression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
 
# 随机生成示例数据
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 5)  # 5个特征
y = X[:, 0] + 2*X[:, 1] - 3*X[:, 2] + np.random.randn(100)  # 线性关系，加入噪声
 
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
 
# 特征工程：标准化特征
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
 
# 特征选择：选择k个最好的特征
selector = SelectKBest(score_func=f_regression, k=3)
X_train_selected = selector.fit_transform(X_train_scaled, y_train)
X_test_selected = selector.transform(X_test_scaled)
 
# 训练回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train_selected, y_train)
 
# 在测试集上评估模型性能
score = model.score(X_test_selected, y_test)
print("模型在测试集上的R^2得分:", score)

上面代码中 ，我们首先生成了一些示例数据，然后对数据进行了标准化处理。接着，我们使用方差分析选择了3个最佳特征。最后训练了一个线性回归模型并在测试集上评估了其性能。

通过特征选择和特征工程，在实际的算法建模中，可以更好地理解数据，提高模型的性能。

2、缺失值和异常值的处理

（1）处理缺失值

① 数据探索与理解

首先，需要仔细了解数据，确定哪些特征存在缺失值，并理解缺失的原因。

② 缺失值的处理方式

• 删除：如果缺失值占比很小且随机分布，可以考虑删除确实样本或特征。
• 填充：采样统计量（如均值、中位数、众数）进行填充，或者使用插值法（如线性插值、多项式插值）进行填充。
• 模型预测：使用其他特征建立模型来预测缺失值。

③ 代码示例

import pandas as pd
from sklearn.impute import SimpleImputer
 
# 假设 df 是你的数据框
# 使用均值填充缺失值
imputer = SimpleImputer(strategy='mean')
df_filled = pd.DataFrame(imputer.fit_transform(df), columns=df.columns)

（2）处理异常值

① 异常值的识别

可以使用可视化工具（如箱线图、直方图）来识别异常值，或者利用统计学方法（如Z分数、IQR）来检测异常值。

② 异常值的处理方式

• 删除：如果异常值数量较少且不影响整体趋势，可以考虑删除异常样本。
• 替换：用特定值（如上下限、中位数、均值）替换异常值，使其不会对模型产生过大影响。
• 转换：对异常值进行转换，使其落入正常范围内。

③ 代码示例

# 假设 df 是你的数据框
# 假设我们使用 Z 分数方法来检测异常值并替换为均值
from scipy import stats
 
z_scores = stats.zscore(df)
abs_z_scores = np.abs(z_scores)
filtered_entries = (abs_z_scores < 3).all(axis=1)
df_no_outliers = df[filtered_entries]

总的来说，遇到这种情况，有几点需要注意：

• 处理缺失值和异常值需要谨慎，因为不当的处理可能会影响模型的预测能力。
• 在处理之前，要仔细观察数据的分布和特点，选择合适的处理方法。
• 在处理过程中，要保持对数据的透明度和可解释性，记录下处理过程以及处理后的数据情况。

3、回归模型的诊断

一些常见的回归模型诊断方法：

（1）残差分析

• 残差（Residuals）是指观测值与模型预测值之间的差异。通过分析残差可以评估模型的拟合程度和误差结构。
• 通过绘制残差图（Residual Plot）来检查残差是否随机分布在0附近，若残差呈现明显的模式（如趋势或异方差性），则可能表示模型存在问题。
• 正态概率图（Normal Probability Plot）可以用来检查残差是否服从正态分布。若残差点在一条直线上均匀分布，则表明残差近似正态分布。

（2）检查回归假设

• 线性性（Linearity）：使用散点图（Scatter Plot）和偏相关图（Partial Residual Plot）来检查自变量和因变量之间的线性关系。
• 同方差性（Homoscedasticity）：通过残差图或者利用Breusch-Pagan检验、White检验等来检验残差是否具有同方差性。若残差的方差随着自变量的变化而变化，则可能存在异方差性。
• 独立性（Independence）：通过检查残差之间的自相关性来评估观测数据是否相互独立，可以利用Durbin-Waston检验来进行检验。
• 正态性（Normality）：利用正态概率图或者Shapiro-Wilk检验来检验残差是否服从正态分布。

（3）Cook's 距离

• Cook's 距离衡量了每个数据点对于模型参数估计的影响程度。大的Cook’s距离可能表示某些数据点对模型拟合具有较大的影响，可能是异常值或者高杆杠点。

用代码来帮助你理解模型诊断相关内容：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 生成示例数据
np.random.seed(0)
X = np.random.rand(100, 1)
y = 2 * X.squeeze() + np.random.normal(scale=0.5, size=100)
 
# 添加截距项
X = sm.add_constant(X)
 
# 拟合线性回归模型
model = sm.OLS(y, X).fit()
 
# 残差分析
residuals = model.resid
plt.figure(figsize=(12, 6))
 
# 绘制残差图
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.scatter(model.fittedvalues, residuals)
plt.xlabel('Fitted values')
plt.ylabel('Residuals')
plt.title('Residual Plot')
 
# 绘制正态概率图
plt.subplot(1, 2, 2)
sm.qqplot(residuals, line='45')
plt.title('Normal Probability Plot')
 
plt.show()
 
# 检查回归假设
name = ['Lagrange multiplier statistic', 'p-value', 'f-value', 'f p-value']
test = sm.stats.diagnostic.het_breuschpagan(residuals, X)
print(dict(zip(name, test)))
 
# Cook's距离
influence = model.get_influence()
cooks_distance = influence.cooks_distance[0]
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.stem(np.arange(len(cooks_distance)), cooks_distance, markerfmt=",", linefmt="b-.")
plt.xlabel('Data points')
plt.ylabel("Cook's Distance")
plt.title("Cook's Distance")
plt.show()

{'Lagrange multiplier statistic': 0.0379899584471155, 'p-value': 0.8454633043549651, 'f-value': 0.03724430837544879, 'f p-value': 0.8473678811756233}
 

这里给出其中一个结果图，你可以自己执行代码，把其他的图进行打印，以便理解。

通过以上代码以及给出的图形，可以进行残差分析、检查回归假设以及计算Cook's距离，从而对线性回归模型进行全面的诊断。

4、学习曲线和验证曲线的解读

（1）学习曲线

学习曲线（Learning Curve）是一种用于分析模型性能的图表，它展示了训练数据大小与模型性能之间的关系。通常，学习曲线会随着训练数据量的增加而变化。学习曲线的两个关键指标是训练集上的性能和验证集上的性能。

① 学习曲线能告诉我们的信息：

• 欠拟合：如果训练集和验证集上的性能都很差，那么可能是模型过于简单，无法捕捉数据的复杂性。
• 过拟合：如果训练集上的性能很好，但验证集上的性能较差，那么可能是模型过于复杂，学习到了训练集的噪声。
• 合适的模型复杂度：当训练集和验证集上的性能趋于稳定且收敛时，可以认为找到了合适的模型复杂度。

② 如何根据学习曲线调整模型参数：

• 欠拟合时：可以尝试增加模型复杂度，如增加多项式特征、使用更复杂的模型等。
• 过拟合时：可以尝试减少模型复杂度，如减少特征数量、增加正则化、采用更简单的模型等。

（2）验证曲线

验证曲线（Validation Curve）是一种图表，用于分析模型性能与某一参数（例如正则化参数、模型复杂度等）之间的关系。通过在不同参数取值下评估模型的性能，我们可以找到最优的参数取值。

① 验证曲线能告诉我们的信息：

• 最优参数取值：通过观察验证曲线的变化趋势，我们可以确定哪个参数对模型性能有最大的提升。
• 过拟合和欠拟合：验证曲线也可以用于检测过拟合和欠拟合，如果验证集上的性能在某些参数值下出现较大的波动，可能是因为模型处于过拟合或欠拟合状态。

② 如何根据验证曲线调整模型参数：

• 选择最优参数：根据验证曲线的趋势，选择能够使验证集性能最优的参数取值。
• 调整模型复杂度：如果验证曲线显示出模型过拟合或欠拟合，可以相应地调整模型复杂度或正则化参数。

这里，用代码演示了使用学习曲线和验证曲线来评估回归模型，并调整模型参数：

from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.model_selection import learning_curve, validation_curve
 
# 生成随机回归数据
X, y = make_regression(n_samples=1000, n_features=20, noise=0.2, random_state=42)
 
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
 
# 定义线性回归模型
estimator = LinearRegression()
 
def plot_learning_curve(estimator, title, X, y, ylim=None, cv=None, n_jobs=None, train_sizes=np.linspace(.1, 1.0, 5)):
    plt.figure()
    plt.title(title)
    if ylim is not None:
        plt.ylim(*ylim)
    plt.xlabel("Training examples")
    plt.ylabel("Score")
    train_sizes, train_scores, test_scores = learning_curve(estimator, X, y, cv=cv, n_jobs=n_jobs, train_sizes=train_sizes)
    train_scores_mean = np.mean(train_scores, axis=1)
    train_scores_std = np.std(train_scores, axis=1)
    test_scores_mean = np.mean(test_scores, axis=1)
    test_scores_std = np.std(test_scores, axis=1)
    plt.grid()
 
    plt.fill_between(train_sizes, train_scores_mean - train_scores_std,
                     train_scores_mean + train_scores_std, alpha=0.1,
                     color="r")
    plt.fill_between(train_sizes, test_scores_mean - test_scores_std,
                     test_scores_mean + test_scores_std, alpha=0.1, color="g")
    plt.plot(train_sizes, train_scores_mean, 'o-', color="r",
             label="Training score")
    plt.plot(train_sizes, test_scores_mean, 'o-', color="g",
             label="Cross-validation score")
 
    plt.legend(loc="best")
    return plt
 
def plot_validation_curve(estimator, title, X, y, param_name, param_range, cv=None, scoring=None):
    train_scores, test_scores = validation_curve(
        estimator, X, y, param_name=param_name, param_range=param_range,
        cv=cv, scoring=scoring)
    train_scores_mean = np.mean(train_scores, axis=1)
    train_scores_std = np.std(train_scores, axis=1)
    test_scores_mean = np.mean(test_scores, axis=1)
    test_scores_std = np.std(test_scores, axis=1)
 
    plt.title(title)
    plt.xlabel(param_name)
    plt.ylabel("Score")
    plt.ylim(0.0, 1.1)
    lw = 2
    plt.plot(param_range, train_scores_mean, label="Training score",
                 color="darkorange", lw=lw)
    plt.fill_between(param_range, train_scores_mean - train_scores_std,
                     train_scores_mean + train_scores_std, alpha=0.2,
                     color="darkorange", lw=lw)
    plt.plot(param_range, test_scores_mean, label="Cross-validation score",
                 color="navy", lw=lw)
    plt.fill_between(param_range, test_scores_mean - test_scores_std,
                     test_scores_mean + test_scores_std, alpha=0.2,
                     color="navy", lw=lw)
    plt.legend(loc="best")
    return plt
 
# 使用示例
plot_learning_curve(estimator, "Learning Curve", X_train, y_train, cv=5)
plt.show()

（浅绿色和浅红色区域代表了训练得分和交叉验证得分的标准差，也就是得分的范围。在上述曲线图中，用来展示得分的不确定性或波动性。）

在这段代码中，我们首先定义了一个线性回归模型 LinearRegression()，然后将其传递给了 plot_learning_curve 函数。这样就可以成功绘制学习曲线了。

5、解释线性回归的原理

【数学原理】

（1）模型表示

在线性回归中，我们假设输出变量与输入变量之间存在线性关系。这可以用以下公式表示：

其中：

• 是输出变量
• 是输入特征
• 是模型的系数（也称为权重）
• 是误差项，表示模型无法解释的部分

（2）损失函数

我们需要定义一个损失函数来衡量模型的预测与实际观测值之间的差异。

在线性回归中，最常见的损失函数是均方误差，其公式是：

其中：

• 是样本数量
• 是第个样本的实际观测值
• 是第个样本的模型预测值

（3）梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于最小化损失函数。其思想是通过不断沿着损失函数梯度的反方向更新模型参数，直到达到损失函数的最小值。

梯度下降的更新规则如下：

其中：

• 是第个模型参数（系数）
• 是学习率，控制更新步长
• 是损失函数关于参数的偏导数

根据上面提到的理论内容，下面通过代码实现。使用梯度下降算法进行参数优化的Python代码：

import numpy as np
 
class LinearRegression:
    def __init__(self, learning_rate=0.01, n_iterations=1000):
        self.learning_rate = learning_rate
        self.n_iterations = n_iterations
        self.weights = None
        self.bias = None
    
    def fit(self, X, y):
        n_samples, n_features = X.shape
        self.weights = np.zeros(n_features)
        self.bias = 0
        
        for _ in range(self.n_iterations):
            y_predicted = np.dot(X, self.weights) + self.bias
            # 计算损失函数的梯度
            dw = (1/n_samples) * np.dot(X.T, (y_predicted - y))
            db = (1/n_samples) * np.sum(y_predicted - y)
            # 更新模型参数
            self.weights -= self.learning_rate * dw
            self.bias -= self.learning_rate * db
            
    def predict(self, X):
        return np.dot(X, self.weights) + self.bias
 
# 使用样例数据进行线性回归
X = np.array([[1, 1.5], [2, 2.5], [3, 3.5], [4, 4.5]])
y = np.array([2, 3, 4, 5])
 
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)
 
# 打印模型参数
print("Coefficients:", model.weights)
print("Intercept:", model.bias)
 
# 进行预测
X_test = np.array([[5, 5.5], [6, 6.5]])
predictions = model.predict(X_test)
print("Predictions:", predictions)
 
# Coefficients: [0.37869152 0.65891856]
# Intercept: 0.5604540832879905
# Predictions: [6.07796379 7.11557387]

这段代码演示了如何使用梯度下降算法拟合线性回归模型，并进行预测。

6、非线性回归模型的例子

（1）多项式回归

多项式回归是一种将自变量的高次项加入模型的方法，例如：

这与线性回归不同之处在于，自变量的幂次不仅限于一次。通过增加高次项，模型能够更好地拟合非线性关系。

（2）指数回归

指数回归是一种通过指数函数来建模的方法，例如：

这种模型表达了因变量随自变量呈指数增长或指数衰减的趋势。

（3）对数回归

对数回归是一种通过对自变量或因变量取对数来建模的方法，例如：

或者

这种方法适用于当数据呈现出指数增长或衰减的趋势时。

（4）广义可加模型（Generalized Additive Models，GAM）

GAM是一种更一般化的非线性回归模型，它使用非线性函数来拟合每个自变量，例如：

这里的是非线性函数，可以是平滑的样条函数或其他灵活的函数形式。

这里的非线性回归模型与线性回归的主要不同之处在于它们允许了更加灵活的自变量和因变量之间的关系。线性回归假设了自变量和因变量之间的关系是线性的。而非线性回归模型通过引入非线性函数来更好地拟合真实世界中更为复杂的数据关系。这使得非线性模型能够更准确地描述数据，但也可能导致更复杂的模型结构和更难以解释的结果。

下面是一个使用多项式回归的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
 
# 生成带噪声的非线性数据
np.random.seed(0)
X = np.linspace(-3, 3, 100)
y = 2 * X**3 - 3 * X**2 + 4 * X - 5 + np.random.normal(0, 10, 100)
 
# 将 X 转换成矩阵形式
X = X[:, np.newaxis]
 
# 使用多项式特征进行变换
poly = PolynomialFeatures(degree=3)
X_poly = poly.fit_transform(X)
 
# 构建并拟合多项式回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_poly, y)
 
# 绘制原始数据和拟合曲线
plt.scatter(X, y, color='blue')
plt.plot(X, model.predict(X_poly), color='red')
plt.title('Polynomial Regression')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.show()

这段代码使用了 PolynomialFeatures 来对自变量进行多项式特征变换，然后使用 LinearRegression 拟合多项式回归模型，并绘制了原始数据和拟合曲线的图像。

7、如何处理过拟合

（1）识别过拟合

• 观察训练误差和验证误差之间的差异。如果训练误差远远低于验证误差，则可能存在过拟合。
• 绘制学习曲线。通过绘制训练误差和验证误差随训练样本数量的变化曲线，可以直观地观察模型是否过拟合。
• 使用交叉验证。通过交叉验证，可以更好地估计模型在未见过的数据上的性能，从而发现过拟合现象。

（2）解决过拟合

• 正则化：通过在损失函数中加入正则项，惩罚模型的复杂度，可以有效地缓解过拟合。常见的正则化方法包括L1正则化（Lasso回归）和L2正则化（岭回归）。
• 减少模型复杂度：降低模型的复杂度，可以减少过拟合的风险。可以通过减少特征数量、降低多项式的阶数等方式来降低模型的复杂度。
• 增加训练数据量：增加训练数据量可以减少模型对训练数据的过度拟合，从而降低过拟合的风险。
• 特征选择：选择最具代表性的特征，去除对模型预测影响较小的特征，可以有效降低模型的复杂度，减少过拟合的风险。

下面是一个使用岭回归来解决回归模型过拟合问题的示例代码：

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 生成一些模拟数据
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)
 
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
 
# 特征缩放
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
 
# 使用岭回归解决过拟合问题
ridge_reg = Ridge(alpha=1)  # alpha为正则化参数
ridge_reg.fit(X_train_scaled, y_train)
 
# 计算在训练集和测试集上的均方误差
train_error = mean_squared_error(y_train, ridge_reg.predict(X_train_scaled))
test_error = mean_squared_error(y_test, ridge_reg.predict(X_test_scaled))
 
print("训练集均方误差:", train_error)
print("测试集均方误差:", test_error)
 
# 绘制学习曲线
alphas = np.linspace(0, 10, 100)
train_errors = []
test_errors = []
 
for alpha in alphas:
    ridge_reg = Ridge(alpha=alpha)
    ridge_reg.fit(X_train_scaled, y_train)
    train_errors.append(mean_squared_error(y_train, ridge_reg.predict(X_train_scaled)))
    test_errors.append(mean_squared_error(y_test, ridge_reg.predict(X_test_scaled)))
 
plt.plot(alphas, train_errors, label='Training error')
plt.plot(alphas, test_errors, label='Testing error')
plt.xlabel('Alpha')
plt.ylabel('Mean Squared Error')
plt.title('Ridge Regression')
plt.legend()
plt.show()

在这个示例中，我们使用岭回归来解决过拟合问题。通过调整正则化参数alpha，我们可以控制正则化的程度，从而调节模型的复杂度，避免过拟合。

最后，通过绘制学习曲线，我们可以直观地观察到模型在不同正则化参数下的表现，从而选择合适的参数值。

训练集均方误差: 1.0118235703301761
测试集均方误差: 0.9153486918052115

参考：深夜努力写Python