数学建模：熵权法（客观赋权法）

熵权法

熵权法是一种客观赋权方法。（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
依据的原理：指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。

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目录

熵权法

一、方法介绍

如何度量信息量的大小

信息熵的定义

二、计算步骤

三、代码实现

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一、方法介绍

如何度量信息量的大小

熵权法就是根据一项指标的变化程度来分配权重的，举个例子：小张和小王是两个高中生，小张学习好回回期末考满分，小王学习不好考试常常不及格。在一次考试中，小张还是考了满分，而小王也考了满分。那就很不一样了，小王这里包含的信息就非常大，所对应的权重也就高一些。

  上面的小例子告诉我们：越有可能发生的事情，信息量越少。越不可能发生的事情，信息量就越多。其中我们认为 概率 就是衡量事情发生的可能性大小的指标。

  那么把信息量用字母 I表示，概率用 p表示，那么我们可以将它们建立一个函数关系：

最终我们可以定义：

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信息熵的定义

假设 x 表示事件 X 可能发生的某种情况，表示这种情况发生的概率我们可以定义:，因为0 ≤ p（x) ≤ 1，所以I ( x ) ≥ 0 。 如果事件 X 可能发生的情况分别为: ，那么我们可以定义事件 X 的信息熵为：

 那么从上面的公式可以看出，信息熵的本质就是对信息量的期望值。

可以证明：时， 取最大值，此时。 (n表示事件发生情况的总数)

二、计算步骤

熵权法的计算步骤大致分为以下三步：

1. 判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）。
2. 计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
3. 计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。

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1.判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时需要保证每一个元素为非负数）。

 

2.计算第 j 项指标下第 i 个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。

 3.计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。

三、代码实现

function [W] = Entropy_Method(Z)
% 计算有n个样本，m个指标的样本所对应的的熵权
% 输入
% Z ： n*m的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数）
% 输出
% W：熵权，1*m的行向量
 
%% 计算熵权
    [n,m] = size(Z);
    D = zeros(1,m);  % 初始化保存信息效用值的行向量
    for i = 1:m
        x = Z(:,i);  % 取出第i列的指标
        p = x / sum(x);
        % 注意，p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数
        e = -sum(p .* mylog(p)) / log(n); % 计算信息熵
        D(i) = 1- e; % 计算信息效用值
    end
    W = D ./ sum(D);  % 将信息效用值归一化，得到权重    
end

 p有可能为0，此时计算ln(p)*p时，Matlab会返回NaN，所以这里我们自己定义一个函数

% 重新定义一个mylog函数，当输入的p中元素为0时，返回0
function [lnp] =  mylog(p)
n = length(p);   % 向量的长度
lnp = zeros(n,1);   % 初始化最后的结果
    for i = 1:n   % 开始循环
        if p(i) == 0   % 如果第i个元素为0
            lnp(i) = 0;  % 那么返回的第i个结果也为0
        else
            lnp(i) = log(p(i));  
        end
    end
end