微积分Z2J5 两个重要极限_limx→0(sin2∝x-sin2阝x)/xsinx

重要极限一：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

证明

证明过程涉及单位圆.建议有微积分教材的翻到相应部分(所有微积分教材都有这个极限的证明),这里为了方便就不再给出证明.
提示:单位圆+三角形面积得出不等式+夹逼定理
可以参考KanadeM给出的两个重要极限及其推导过程(似乎就是标准解法.)

变式

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin \alpha x}{\beta x}=\frac{\alpha }{\beta }，\beta \ne 0$
2. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$
3. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}=\frac{\alpha }{\beta }，\beta \ne 0$
4. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1,[f(x)\to 0]$

重要极限二：${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

证明方法

首先明确$e$的定义,它等于${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$,其中$n\in N_{+}$

下面证明该极限存在.

方法1: 收敛准则+借助其他数列

设$a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$
由平均值不等式有:
$a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n\cdot 1\le [\frac{(1+\frac{1}{n})+(1+\frac{1}{n})+...+(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}{]}^{n+1}=a_{n+1}$

所以$a_n$递增.
观察$a_n$数列结构,设$b_n=(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$,显然$a_n\le b_n$

$\frac{1}{b_n}=(\frac{n}{n+1}{)}^{n+1}\cdot 1\le [\frac{(\frac{n}{n+1})+...+(\frac{n}{n+1})+1}{n+2}{]}^{n+2}=\frac{1}{b_{n+1}}$
所以$b_n$递减
因此有不等式:$2=a_1\le a_n\le b_n\le b_1=4$
即$a_n$单调且有界,所以极限存在.

方法2: 收敛准则+二项式定理

设$a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$
$a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n=1+n\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+...+\frac{n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}{n!}\frac{1}{n^n}$
$=2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})\cdot \cdot \cdot (1-\frac{n-1}{n})$
同理
$a_{n+1}=2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+...+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})...(1-\frac{n}{n+1})$

比较$a_n,a_{n+1}$的每一项，发现除了第一项均为2以外，其他项均是后者大。
因此，$a_{n+1}\ge a_n$

即$a_n$递增。

又$a_n<1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2+\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{3\cdot 2}+...+\frac{1}{n(n-1)}=3-\frac{1}{n}<3$
所以$a_n$有界，因此$a_n$存在极限且称为$e$

证明${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

有多种证明方法，书上例子不再给出。
另一种证明方法就是套用上述 证明方法2，该方法既可以证明数列形式也可以证明函数形式。

变式

1. 换元可得:${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

2. ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^{x+\alpha }=e$
   ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x+\beta })=e$
   其中,$\alpha ,\beta 是任意常数.$
   可以简记为加减不改值

3. ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{\alpha }{x}{)}^x=e^{\alpha }$
   ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{\alpha x}{)}^x=e^{\frac{1}{\alpha }}$
   其中α为任意常数.两个式子本质相同.

4. 综合2，3可得：

   ${\lim }_{x\to +\infty }(1+\frac{\alpha }{\beta x}{)}^{\gamma x}=e^{\frac{\alpha \gamma }{\beta }}，\beta \ne 0$

5. 更深入地探讨该重要极限的复合情况:

   ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{f(x)}{)}^{f(x)}=e，{\lim }_{x\to \infty }f(x)=0$

   显然分母与指数的表达形式必须相同且趋于无穷,才能使用该重要极限的一般形式.

   上面的变式略加修改便能套入一般形式中.