【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )

一、推理的形式结构

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推理的形式结构

前提 : $A_1,A_2,\cdots ,A_k$

结论 : $B$

推理的形式结构为 : $(A_1\wedge A_2\wedge \cdots \wedge A_k)\to B$

二、推理定律

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推理定律 : $A,B$ 是两个命题 , 如果 $A\to B$ 是永真式 , 那么 $A\Rightarrow B$ ;

1、附加律

附加律 : $A\Rightarrow (A\vee B)$

根据 推理定律 , $A\to (A\vee B)$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A$

结论 : $A\vee B$

$A$ 是对的 , 那么 $A\vee B$ 也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个 $B$ ;

2、化简律

化简律 : $(A\wedge B)\Rightarrow A$ , $(A\wedge B)\Rightarrow B$

根据 推理定律 , $(A\wedge B)\to A$ , $(A\wedge B)\to B$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\wedge B$

结论 : $A$ 或 $B$

$A\wedge B$ 是对的 , 那么 $A$ 或 $B$ 也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;

3、假言推理

假言推理 : $(A\to B)\wedge A\Rightarrow B$

根据 推理定律 , $(A\to B)\wedge A\to B$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\to B$ , $A$

结论 : $B$

这是个典型的小三段论 ;

4、拒取式

拒取式: $(A\to B)\wedge \neg B\Rightarrow \neg A$

根据 推理定律 , $(A\to B)\wedge \neg B\to \neg A$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\to B$ , $\neg B$

结论 : $\neg A$

可以理解为是反证法 ;

5、析取三段论

析取三段论 : $(A\vee B)\wedge \neg A\Rightarrow B$ , $(A\vee B)\wedge \neg B\Rightarrow A$

根据 推理定律 , $(A\vee B)\wedge \neg A\to B$ , $(A\vee B)\wedge \neg B\to A$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\vee B$ , $\neg A$

结论 : $B$

$(A\vee B)$ 是正确的 , 其中 $A$ 是错误的 , 那么 $B$ 肯定是正确的 ;

$(A\vee B)$ 是正确的 , 其中 $B$ 是错误的 , 那么 $A$ 肯定是正确的 ;

警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;

6、假言三段论

假言三段论 : $(A\to B)\wedge (B\to C)\Rightarrow (A\to C)$

根据 推理定律 , $(A\to B)\wedge (B\to C)\to (A\to C)$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\to B$ , $B\to C$

结论 : $A\to C$

7、等价三段论

等价三段论: $(A\leftrightarrow B)\wedge (B\leftrightarrow C)\Rightarrow (A\leftrightarrow C)$

根据 推理定律 , $((A\leftrightarrow B)\wedge (B\leftrightarrow C))\to (A\leftrightarrow C)$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\leftrightarrow B$ , $B\leftrightarrow C$

结论 : $A\leftrightarrow C$

8、构造性两难

等价三段论: $(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\vee C)\Rightarrow (B\vee D)$

根据 推理定律 , $((A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\vee C))\to ((B\vee D))$ 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : $A\to B$ , $C\to D$ , $A\vee C$

结论 : $B\vee D$

理解方式 :

$A$ 是发展经济 , $B$ 是污染
$C$ 是不发展经济 , $D$ 是贫穷

$A\vee B$ 要么发展经济 , 要么不发展经济
结果是 $B\vee D$ , 要么产生污染 , 要么忍受贫穷