二叉树的建立_一文带你读懂二叉树

二叉树的基本概念

二叉树定义：结点的度最多为2

二叉树的五种形态：

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根结点只有左子树
• 根结点只有右子树
• 根结点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树：

• 斜树：分为左斜树和右斜树，其实这算是一种线性结构了

• 满二叉树：如图1所示。

• 完全二叉树：如图2所示。满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。而图3中的三颗树，都不是完全二叉树。

图1

图2

图3

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上，最多有2^i-1个结点；

2. 深度为k的二叉树，最多有2^k-1个结点；

3. 对任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1；

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为|log₂n+1|(|x|表示不大于x的最大整数)；

5. 对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号(从上到下从左到右，如图4所示)，对任一结点i(1≤i≤n)有：

• 结点i的左孩子为2i，右孩子为2i+1。
• 如果i>n/2，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)。
• 如果i>(n-1)/2，则结点i无右孩子。

图4

下面就来证明一下上述性质。1、2、4这个挺好理解的，无需证明。

关于第三点，为什么n0=n2+1呢？首先，n=n0+n1+n2这个是毫无疑问的。

然后将我们的注意力转移到分支线上，而不是结点上。

对于一颗有n个结点的二叉树来说，除了根结点头顶上没有分支线连接它，其余结点的头顶上有且仅有一条分支线与它对应，因此分支线总数=n0+n1+n2-1。

度为2的结点脚下有2条分支线，度为1的有1条，度为0的有0条，因此分支线总数=2*n2+n1。

根据上述标记为红色字体的两条公式，即可得出结论。

关于第五点，其实只用证明结点i的左孩子为2i即可，后面的结论都是根据这个结论而来的。下面的证明与图4有关。注意这是一颗完全二叉树。

首先我们证明这棵树的每一层的最左边结点i是否满足左孩子为2i(左孩子必然在该结点的下一层的最左边)。比如证明结点4的左孩子是否为8。假设结点4在k层(当然结点4在3层，k只是针对一般情况),那么结点4的值为2^k-1，结点4的左孩子的值为2^k，因此满足。

接下来证明不在每一层的最左边的结点i是否满足左孩子为2i。比如证明结点5的左孩子是否为10。设最左边的结点为i，结点5相对于本层最左边那个结点来说，偏移了n个单位(即结点5相对于结点4偏移了1个单位，n只是针对一般情况)，结点5的值为i+n；其左孩子必然偏移2n个单位，结点5左孩子的值位2i+2n，因此满足。

二叉树的存储结构

对于一般的树来说，是不太适合用顺序存储结构来存储树的逻辑关系的，但是二叉树作为一种特殊的树，是可以这样做的。如下图所示。

这张图表明用数组去存储一颗普通的二叉树，如果某个结点不存在，则用空值表示。对于普通二叉树来说，顺序存储显然是浪费空间的，因此顺序存储结构一般只适用于完全二叉树。

第二种就是用二叉链表了。因为作为一颗二叉树，很容易想到每个结点应该存储结点的值和左右孩子的指针，如果想快速找到某个结点的双亲，则还可以加一个双亲指针。二叉链表如下图所示。

二叉树的遍历

二叉树的遍历： 按照一定的次序，将树中的所有结点遍历一次。 遍历方式：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历
• 层序遍历：从上到下、从左到右。

其中，前中后是相对于任一子树的根节点来说的。

下面用Java代码实现前中后三种遍历方式。

首先定义结点类。

public class Node{    private Node left;    private char data;    private Node right;    public Node(Node left, char data ,Node right) {        this.left = left;        this.right = right;        this.data = data;    }    // 省略getter/setter方法}

然后定义遍历类，该类有三个方法，分别对应前中后遍历，因为树的定义是采用递归思想的，因此树的遍历也采用了递归。另外该类还有一个构建树的方法，构建的树如下图所示。最后就是main方法了，相信大家都能看懂。

public class BinaryTreeTraverse {    /**     * 先序     */    public void firstTraverse(Node node){        if(node == null){            return;        }        System.out.print(node.getData());        firstTraverse(node.getLeft());        firstTraverse(node.getRight());    }    /**     * 中序     */    public void middleTraverse(Node node){        if(node == null){            return;        }        middleTraverse(node.getLeft());        System.out.print(node.getData());        middleTraverse(node.getRight());    }    /**     * 后序     */    public void laterTraverse(Node node){        if(node == null){            return;        }        laterTraverse(node.getLeft());        laterTraverse(node.getRight());        System.out.print(node.getData());    }    /**     * 构建二叉树,并返回根结点     */    public Node buildTree(){        Node node_k = new Node(null, 'K', null);        Node node_h = new Node(null, 'h', node_k);        Node node_d = new Node(node_h, 'd', null);        Node node_e = new Node(null, 'e', null);        Node node_b = new Node(node_d, 'b', node_e);        Node node_i = new Node(null, 'i', null);        Node node_j = new Node(null, 'j', null);        Node node_f = new Node(node_i, 'f', null);        Node node_g = new Node(null, 'g', node_j);        Node node_c = new Node(node_f, 'c', node_g);        Node node_a = new Node(node_b, 'a', node_c);        return node_a;    }    public static void main(String[] args) {        BinaryTreeTraverse traverse = new BinaryTreeTraverse();        Node root = traverse.buildTree();        //先序遍历        traverse.firstTraverse(root);        System.out.println();        //中序遍历        traverse.middleTraverse(root);        System.out.println();        //后序遍历        traverse.laterTraverse(root);    }}

二叉树的建立

上面讲到了二叉树的遍历，但是如果我们的内存中都没有一颗二叉树，又哪来的遍历呢？因此下面我来讲讲二叉树的建立。

上面的例子中其实已经包含了二叉树的建立，但那是通过硬编码建立的，不符合一般情况。

我们可以通过二叉树的遍历结果反向构建二叉树。比如说先序遍历吧，可以根据其先序遍历结果来构建一颗二叉树，另外，我们还需要加一些虚结点，以保证能顺利地在内存中构建出一条二叉链条出来。

本次要构建的二叉树原型如下图所示。

然后我们加一些虚节点，如下图所示。

本来的先序遍历结果应该是：ABDHKECFIGJ，我们将虚结点记为#(别的符号也可以)，其先序遍历结果就变为了：ABDH#K###E##CFI###G#J##，这个很容易弄错，一定要仔细，否则输入(即将遍历结果视为输入，将构建出来的二叉树视为输出)都是错误的，那么构建出来的二叉树肯定也是错的。

二叉树的构建也由递归来实现，下面用Java代码实现通过先序遍历结果来构建一颗二叉树。

首先是结点Node类。

public class Node{    private Node left;    private char data;    private Node right;    public Node(Node left, char data ,Node right) {        this.left = left;        this.right = right;        this.data = data;    }    // 省略getter/setter方法    @Override    public String toString() {        return "Node{" +                "left=" + (left==null?"null":left.getData()) +                ", data=" + data +                ", right=" + (right==null?"null":right.getData()) +                '}';    }}

然后是具体的实现逻辑。

import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class BinaryTreeBuilder {    private List nodes;/**     * 索引跟踪，每构建一个结点就加1，包括虚结点     */private int index;/**     * 构建某个结点,仅适用于先序构建     * @param curIndex 该结点的索引，该索引不能只能存于方法客栈     */public void buildNode(int curIndex){        index++;//如果要构建的结点是个虚结点，那就不用构建左子树和右子树了，直接return；if(null == nodes.get(curIndex)){return;        }// 递归构建左子树        buildLeft(curIndex);// 递归构建右子树        buildRight(curIndex);    }/**     * 构建左子树     * @param curIndex 要构建左孩子的结点的索引     */public void buildLeft(int curIndex){//设置左孩子        nodes.get(curIndex).setLeft(nodes.get(index));//构建左孩子结点，因此传入的索引是左孩子的索引        buildNode(index);    }/**     * 构建右子树     * @param curIndex 要构建右孩子的结点的索引     */public void buildRight(int curIndex){//设置右孩子        nodes.get(curIndex).setRight(nodes.get(index));//构建右孩子结点，因此传入的索引是右孩子的索引        buildNode(index);    }public void initNodes(char[] arr){        nodes = new ArrayList<>();for (char c : arr) {if(c=='#'){                nodes.add(null);            }else{                nodes.add(new Node(null,c,null));            }        }    }/**     * 构建完成，打印构建结果     */public void buildOK(){for (Node node : nodes) {if(null == node){continue;            }            System.out.println(node.getData()                    +" -(左孩子->"+(node.getLeft()==null?"null":(node.getLeft().getData()+" "))+")"                    +" -(右孩子->"+(node.getRight()==null?"null":(node.getRight().getData())+" ")+")");        }    }public void buildTree(char[] arr,String charArrType){        initNodes(arr);if("先序构建".equals(charArrType)){            buildNode(0);        }else if("中序构建".equals(charArrType)){// 请参考buildNode先序构建方法，实现中序构建        }else if("后序构建".equals(charArrType)){// 请参考buildNode先序构建方法，实现后序构建        }else{return;        }        buildOK();    }public static void main(String[] args) {        BinaryTreeBuilder builder = new BinaryTreeBuilder();        builder.buildTree("ABDH#K###E##CFI###G#J##".toCharArray(),"先序构建");    }}

最后运行程序，构建出来的结果如下图所示。

我仔细验证了一下，是没有问题的。至于根据中、后序遍历结果来构建二叉树的逻辑，由你们来动脑实现吧！