向量与矩阵 导数和偏导数 特征值与特征向量 概率分布 期望方差 相关系数_求导变换的特征值和特征向量

向量与矩阵

标量、向量、矩阵、张量

• 标量（scalar）：一个单独的数。
• 向量（vector）：⼀组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。
• 矩阵（matrix）：具有相同特征和纬度的对象的集合。⼀个对象表⽰为矩阵中的⼀⾏，⼀个特征表⽰为矩阵中的⼀列，表现为⼀张⼆维数据表。
• 张量（tensor）：一个多维数组，⼀个数组中的元素分布在若⼲维坐标的规则⽹格中，我们将其称之为张量。

向量范数和矩阵的范数

向量范数

设一个向量，不同范数表示如下：

• 向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和
  

• 向量的2范数：向量的每个元素的平⽅和再开平⽅根
  

• 向量的负⽆穷范数：向量的所有元素的绝对值中最小的
  

• 向量的正⽆穷范数：向量的所有元素的绝对值中最大的
  

• 向量的p范数：
  

矩阵范数

设矩阵定义为A_mxn，其元素为a_ij。

• 矩阵的1范数（列范数）：矩阵的每⼀列上的元素绝对值先求和，再从中取个最⼤的,（列和最⼤）。
  

• 矩阵的2范数：矩阵A^TA的最大特征值开平方根。
  

• 矩阵的⽆穷范数（⾏范数）：矩阵的每⼀⾏上的元素绝对值先求和，再从中取个最⼤的，（⾏和最⼤）。
  

• 矩阵的L0范数：矩阵的⾮0元素的个数

• 矩阵的L1范数: 矩阵中的每个元素绝对值之和

• 矩阵的F范数: 矩阵的各个元素平⽅之和再开平⽅根，它通常也叫做矩阵的L2范数。
  

• 矩阵的p范数:
  

导数和偏导数

导数代表了在⾃变量变化趋于⽆穷⼩的时候，函数值的变化与⾃变量的变化的⽐值。⼏何意义是这个点的切线。物理意义是该时刻的（瞬时）变化率。

偏导数就是指多元函数沿着坐标轴的变化率。

特征值和特征向量

特征值表⽰的是这个特征到底有多重要，⽽特征向量表⽰这个特征是什么。

如果说⼀个向量ν是矩阵A的特征向量，将⼀定可以表⽰成下⾯的形式：

λ为特征向量ν对应的特征值。即矩阵A的信息可以由其特征值和特征向量表⽰。

概率分布

伯努利分布

期望：φ， 方差：φ（1-φ）

正态分布（高斯分布）

期望：μ， 方差：φ

缺乏实数上分布的先验知识, 不知选择何种形式时, 默认选择正态分布。

指数分布

深度学习中, 指数分布⽤来描述在 点处取得边界点的分布：

期望、⽅差、协⽅差、相关系数

期望

数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映随机变量平均取值的⼤⼩。

• 离散函数
  

• 连续函数
  

方差

⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。

协⽅差

协⽅差是衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。

相关系数

相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。