回溯算法设计(2):回溯法解决0/1背包问题_0/1背包回溯法算法设计

问题描述

有n个重量分别为{w1，w2，…，wn}的物品，它们的价值分别为{v1，v2，…，vn}，给定一个容量为W的背包。

设计从这些物品中选取一部分物品放入该背包的方案，每个物品要么选中要么不选中，要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且满足重量限制具有最大的价值
bi

显然0/1背包问题的解空间是一棵子集树。

求解问题

装入背包中的物品重量和恰好为W

• 用w[1…n]/v[1…n]存放物品信息，x[1…n]数组存放最优解，其中每个元素取1或0，x[i]=1表示第i个物品放入背包中，x[i]=0表示第i个物品不放入背包中。
• 这是一个求最优解问题。找到更优解(op,tv) ➡️ (x,maxv)

对第i层上的某个分枝结点，对应的状态为dfs(i，tw，tv，op)，其中tw表示装入背包中的物品总重量，tv表示背包中物品总价值，op记录一个解向量。该状态的两种扩展如下：

• 叶子结点表示已经对n个物品做了决策
• 对所有叶子结点进行比较求出满足tw=W的最大maxv，对应的最优解op存放到x中。

改进

• 左剪枝：对于第i层的有些结点，tw+w[i]已超过了W，显然再选择w[i]是不合适的。应仅仅扩展tw+w[i]<=W的左孩子结点。

• 右剪枝：rw=w[i]+w[i+1]+…+w[n]
  当不选择物品i时：rw-w[i]=w[i+1]+…+w[n]，若tw+rw-w[i]<W，也就是说即使选择后面的所有物品，重量也不会达到W，因此不必要再考虑扩展这样的结点。仅仅扩展满足tw+rw-w[i]≥W的右孩子结点。

代码表示

void dfs(int i,int tw,int tv,int rw,int op[])
{  //初始调用时rw为所有物品重量和
   int j;
   if (i>n)				//找到一个叶子结点
   {  if (tw==W && tv>maxv) 		//找到一个满足条件的更优解,保存
      {  maxv=tv;
         for (j=1;j<=n;j++)		//复制最优解
            x[j]=op[j];
      }
   }
   else					//尚未找完所有物品
   {  if (tw+w[i]<=W)			//左孩子结点剪枝
      {  op[i]=1;			//选取第i个物品
         dfs(i+1,tw+w[i],tv+v[i],rw-w[i],op);
      }
      if (  tw+rw-w[i]>=W )//右剪枝
      {  op[i]=0;			 //不选取第i个物品,回溯
          dfs(i+1,tw,tv,rw-w[i],op);
      }
   }
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算法分析

该算法不考虑剪枝时解空间树中有2n+1-1个结点（剪枝的结点个数不确定），所以最坏情况下算法的时间复杂度为O(2^n)。

装入背包中物品重量和不超过W

方案

• 左剪枝方式不变
• 右剪枝改为采用上界函数进行
  
  
  

int bound(int i,int tw,int tv)	//求上界
{  i++;					//从i+1开始
   while (i<=n && tw+A[i].w<=W)	//若序号为i的物品可以整个放入
   {  tw+=A[i].w;
      tv+=A[i].v;
      i++;
   }
   if (i<=n)
       return tv+(W-tw)*A[i].p;	//序号为i的物品不能整个放入
   else
       return tv;
}
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剪枝

• 左剪枝：仅仅扩展tw+w[i]≤W的左孩子结点
• 右剪枝：仅仅扩展bound(i,tw,tv)>maxv的右孩子结点。一旦找到一个解后，后面找到的其他解（tv，op）只能越来越优

代码表示

void dfs(int i,int tw,int tv,int op[])  //求解0/1背包问题
{  if (i>n)				   //找到一个叶子结点
   {  maxv=tv;				   //存放更优解
      for (int j=1;j<=n;j++)
         x[j]=op[j];
   }
   else					   //尚未找完所有物品
   {  if (tw+A[i].w<=W)  		   //左孩子结点剪枝
      {  op[i]=1;			   //选取序号为i的物品
         dfs(i+1,tw+A[i].w,tv+A[i].v,op);
      }
      if (bound(i,tw,tv)>maxv)	   //右孩子结点剪枝
      {  op[i]=0;			   //不选取序号为i的物品,回溯
         dfs(i+1,tw,tv,op);
      }
   }
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算法分析

该算法不考虑剪枝时解空间树中有2n+1-1个结点（剪枝的结点个数不确定），所以最坏情况下算法的时间复杂度为O(2^n)。