机器学习算法—— 线性回归_机器学习 线性回归

一、算法简介

1.1 什么是回归分析
回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。通常使用曲线/线来拟合数据点，目标是使曲线到数据点的距离差异最小。

1.2 线性回归
线性回归是回归问题中的一种，线性回归假设目标值与特征之间线性相关，即满足一个多元一次方程。通过构建损失函数，来求解损失函数最小时的参数w和b。通长我们可以表达成如下公式：

y^为预测值，自变量x和因变量y是已知的，而我们想实现的是预测新增一个x，其对应的y是多少。因此，为了构建这个函数关系，目标是通过已知数据点，求解线性模型中w和b两个参数。

1.3 目标/损失函数
求解最佳参数，需要一个标准来对结果进行衡量，为此我们需要定量化一个目标函数式，使得计算机可以在求解过程中不断地优化。

针对任何模型求解问题，都是最终都是可以得到一组预测值y^ ，对比已有的真实值 y ，数据行数为 n ，可以将损失函数定义如下：

即预测值与真实值之间的平均的平方距离，统计中一般称其为MAE(mean square error)均方误差。把之前的函数式代入损失函数，并且将需要求解的参数w和b看做是函数L的自变量，可得

现在的任务是求解最小化L时w和b的值，

即核心目标优化式为

求解方式有两种：

1）最小二乘法(least square method)

求解 w 和 b 是使损失函数最小化的过程，在统计中，称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”(parameter estimation)。我们可以将 L(w,b) 分别对 w 和 b 求导，得到

令上述两式为0，可得到 w 和 b 最优解的闭式(closed-form)解：

2）梯度下降(gradient descent)

梯度下降核心内容是对自变量进行不断的更新（针对w和b求偏导），使得目标函数不断逼近最小值的过程

这里不做展开讲解。

二、代码实现

2.1 简单线性回归
首先建立linear_regression.py文件，用于实现线性回归的类文件，包含了线性回归内部的核心函数：

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np


class LinerRegression(object):

    def __init__(self, learning_rate=0.01, max_iter=100, seed=None):
        np.random.seed(seed)
        self.lr = learning_rate
        self.max_iter = max_iter
        self.w = np.random.normal(1, 0.1)
        self.b = np.random.normal(1, 0.1)
        self.loss_arr = []

    def fit(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y
        for i in range(self.max_iter):
            self._train_step()
            self.loss_arr.append(self.loss())
            # print('loss: \t{:.3}'.format(self.loss()))
            # print('w: \t{:.3}'.format(self.w))
            # print('b: \t{:.3}'.format(self.b))

    def _f(self, x, w, b):
        return x * w + b

    def predict(self, x=None):
        if x is None:
            x = self.x
        y_pred = self._f(x, self.w, self.b)
        return y_pred

    def loss(self, y_true=None, y_pred=None):
        if y_true is None or y_pred is None:
            y_true = self.y
            y_pred = self.predict(self.x)
        return np.mean((y_true - y_pred)**2)

    def _calc_gradient(self):
        d_w = np.mean((self.x * self.w + self.b - self.y) * self.x)
        d_b = np.mean(self.x * self.w + self.b - self.y)
        return d_w, d_b

    def _train_step(self):
        d_w, d_b = self._calc_gradient()
        self.w = self.w - self.lr * d_w
        self.b = self.b - self.lr * d_b
        return self.w, self.b

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51

建立 train.py 文件，用于生成模拟数据，并调用 liner_regression.py 中的类，完成线性回归任务：

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from liner_regression import *


def show_data(x, y, w=None, b=None):
    plt.scatter(x, y, marker='.')
    if w is not None and b is not None:
        plt.plot(x, w*x+b, c='red'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10