参数化曲线：Hermite Catmull-Rom Bezier_catmull-rom和hermite的关系

本来来自于翻译摘录自
CMSC427 Parametric curves: Hermite, Catmull-Rom,Bezier
CMU课程pdf https://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15462-s09/www/lec/10/lec10.pdf

概述

piecewise polynomials：分段多项式。

插值多项式和拟合多项式的差别：

描述曲线连续性的两种方式

：Ck：连接点的k阶导数连续； Gk：k阶导数是成比例的。

Hermite曲线

给点两点P0 P1以及这两点的导数数值，求取得唯一一个三次多项式。

根据已知的点，可以对abcd efgh参数进行求取，
下面对abcd的计算进行举例：对t=0 t=1的x(t) x’(t)进行求取

就能够得到abcd的数值解。

转化为矩阵的形式可以表示为：

得到参数abcd的矩阵形式解

同样的也可以求取y的数值，据此将以上矩阵转化为向量形式如下，即表示多维度下的hermite曲线解。其中P0 P1为点向量，T0 T1为点的切线向量。

除了以上的矩阵表达形式，还有如下两种表达形式：


其基函数的曲线画图如下，也就是说选择不同的x0 x1 dx0 dx1就是对以下四个函数的线性组合。

Catmull-Rom曲线

简称C-R曲线，由发明者的名字catmull rom取名。该曲线能够保证连接点处的朝向相同，但是不能保证曲率相同。即C1连续性。同时能够保证所有原始点组成的凸包都在插值后的曲线范围内部。
首先可看简要介绍https://blog.csdn.net/i_dovelemon/article/details/47984241
原文内容来自http://graphics.cs.cmu.edu/nsp/course/15-462/Fall04/assts/catmullRom.pdf
Catmull, E., and Rom, R的原文：A class of local interpolating splines（经典原文）


其矩阵表达式可表示为如下形式：

cubic Bezier曲线

和catmull-rom曲线相比，三阶贝塞尔曲线也是保证C1连续，但是不能够经过所有控制点。但是其能够保证起点的朝向。

矩阵形式如下：

按照catmull-rom曲线相同的转换方式，可以提取其基函数如下：

各个三阶曲线性能对比

可参考博客