整数划分_正整数n的划分的个数

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作p(n)。
例如正整数6有如下11种不同的划分，所以p(6)=11。
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.

思路：

      注意6=1+5 和 6=5+1被认为是同一个划分。在正整数n所有不同的划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作f(n,m)，称它为属于n的一个m划分。f(4,4)即为数字4的划分中最大加数不大于4的划分个数。

       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

        根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

      （1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

          综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

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