【题解】CSP-J2019第二轮题解_2019 jsp-j/s 第二

CSP-J2019第二轮题解

代码在最后

T1.数字游戏 $\otimes$

可以利用 for 循环遍历字符串的每一位并统计答案。

T2.公交换乘 $\otimes$

分地铁和公交车来考虑。
乘坐地铁的钱是不可优惠的，所以可以先将做地铁的钱先加起来，并且用一种容器存储一张优惠票的信息：得到的时间 $t$ 以及这次地铁的价格 $p$。由于只需要存两个信息，我们可以选用 pair 容器。题目中提到要用最早的优惠票，故可以将其放入一个可以自动排序的容器中，将 $p$ 作为第一关键字，$t$ 作为第二关键字，即将所有的 $(p,t)$ 存入可以自动排序的容器中。
乘坐公交车的钱是可以优惠的。我们要考虑当前这班公交车使用哪张优惠票。前文提到，优惠票存在了会自动排序的仪器中，所以选择尽量靠前的票即可，但要注意将过时的票删去，将价格高于公交车票钱的票忽略。
还有一个问题没有解决：将优惠票存入什么容器当中？这个容器有如下特点：1.能自动排序。2.支持删去任意一个元素。于是，自然而然的就想到了 set。

T3.纪念品 $\otimes$

动态规划题，有一点点的小巧妙。
动态规划的第一步就是提出一种最简单、低效的方法，后面再慢慢优化。根据题意可以得到如下方法：设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 天考虑前 $j$ 个纪念品并且有 $k$ 元钱的时候可以赚到的最多的钱。对于每个纪念品，可以看成是买来之后第二天马上卖掉，因为每天可以无限买入与卖出。于是，得转移方程：$f_{i,j,k}=\max (f_{i-1,j,k},f_{i-1,j,k-p_{i-1,j}}+p_{i,j})$。根据背包的思想，前两维可以省去（没学过背包的可以这么理解：直接去掉前两维，这个位置之前的值就可以作为三维转移式中的前一项）。这道题就是完全背包，体积为 $p_{i-1,j}$，价值为 $p_{i,j}$，理解为昨天花钱买，今天得到那么多钱，前提是当前的钱数大于昨天的价格。
这题的巧妙之处在于两点：1.在省去了两维之后，变成了完全背包的裸题。2.根据题目的性质可以将“纪念品”这一概念抛弃，转化为转移时的介质。
正解思路如下：设 $f_i$ 表示有 $i$ 元钱时能获得的最多钱数。天数从 $1\sim n$ 枚举，将每一个纪念品看成是体积为前一天价格，价值为今天的价格，做一个完全背包即可。$f_j=\max (f_j,f_{j-p_{i-1,j}}+p_{i,j})$

T4.零件加工 $\otimes$

图论题，先讲一点题外话。我个人总是认为同一场比赛里的图论题比动态规划题简单，主要是图论比较具象，对于一个问题知道该往哪里去想。这题还需要一个转化，转化完之后的问题就非常有意思了。
假设一个人要生产 $l$ 级零件，那么旁边的人就要生产 $l-1$ 级的零件。这个过程很重要，是转化的一把钥匙。在这个过程中，每经过一根传送带，生产的等级降了一级。看上去很显然，但是转化的思路就随之出来了：如果要提供原材料，可以看成是生产 $0$ 级零件，而一开始某个人要生产 $l$ 级零件，期间共降了 $l$ 级，就说明要经过 $l$ 条传送带，问题就转化为是否存在一条源点到给定点的长度为 $l$ 的路径。
首先，可以自然而然的想到先求最短路，然后先让这个零件传递这么多次，到了给定点之后可以通过“来回耗”的方式一次性降低 $2$ 级。例如样例 $1$，$1\sim 3$ 的最短路是 $2$，要判断 $3$ 号节点生产 $16$ 级零件时 $1$ 号节点是否需要提供，那么零件从 $3$ 传递到 $1$ 降了 $2$ 级，剩余 $14$ 级。路径 $1\to 2\to 1\to 2\to \cdots \to 1$ 可以做到“来回一次减少 $2$ 级”的效果，所以 $1$ 号节点需要提供原材料。
如果你在思考的话，你会轻而易举的举出反例。样例 2 就是一个很好的反例，你可以试一试 $\text{2 4}$ 这一次询问。如果你在思考的话，你会轻而易举的发现错误的原因：奇环。奇环使得有奇偶两种路径，并且这道题 Yes/No 的关键点就在于奇偶。所以说，在没有奇环的情况下，这个算法是正确的。
当然，我们可以解决这个问题。有一种叫做“奇偶最短路”的算法，就是分别算出源点到所有点的长度为奇数、偶数的最短路。这里推荐将 Dijkstra 单源最短路进行修改。令 $d[0/1][u]$ 表示源点到点 $u$ 且路径长度为 偶/奇 的最短路。如果你在思考，也许你就知道怎么做了。如果你还不知道的话，你就得想一想自己是否理解了 Dijkstra 算法的本质或者你有没有好好思考这题。由于一条边的长度为 $1$，设 $(u\to v)=1$，且 $u$ 为已知路径的点，则 $d[0][v]=\min (d[0][v],d[1][u]+1)$，$d[1][v]=\min (d[1][v],d[0][u]+1)$。不熟悉的同学也不要紧哈，自己上网查一查资料，会学会的。这个算法不难。

代码

$T1:$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; w *= ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar());
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; s = 10 * s + ch - '0', ch = getchar());
	return s * w;
}
signed main(){
	string s;
	cin >> s;
	int cnt = 0;
	for(int i = 0; i < 8; i++) cnt += s[i] - '0';
	cout << cnt << endl;
	return 0;
}
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$T2:$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; w *= ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar());
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; s = 10 * s + ch - '0', ch = getchar());
	return s * w;
}
const int MAXN = 100005;
set<pair<int, int> > st;
signed main(){
	int T = read(), ans = 0;
	for(int i = 1, op, p, t; i <= T; i++){
		op = read(), p = read(), t = read();
		if(op == 0){
			ans += p;
			st.insert(make_pair(t, p));
		} else {
			bool flag = false;
			while(!st.empty() && st.begin() -> first + 45 < t) st.erase(*st.begin());
			for(set<pair<int, int> >::iterator it = st.begin(); it != st.end(); it++){
				if(it -> second >= p){
					st.erase(*it);
					flag = true;
					break;
				}
			}
			if(flag == false) ans += p;
		}
//		cout << ans << endl;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}
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$T3:$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; w *= ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar());
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; s = 10 * s + ch - '0', ch = getchar());
	return s * w;
}
const int MAXN = 105;
const int MAXT = 105;
const int MAXM = 10005;
int n, m, t, a[MAXN][MAXT], dp[MAXM];
signed main(){
	t = read(), n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= t; i++){
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			a[j][i] = read();
		}
	}
	for(int date = 1; date < t; date++){
//		cout << "Day " << date << " m=" << m << endl;
		for(int i = 1; i <= m; i++){
			dp[i] = i;
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = a[i][date]; j <= m; j++){
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i][date]] + a[i][date + 1]);
			}
//			for(int j = 1; j <= m; j++) cout << dp[j] << " ";
//			cout << endl;
		}
//		cout << endl;
		m = dp[m];
	}
	cout << m << endl;
	return 0;
}
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$T4:$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; w *= ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar());
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; s = 10 * s + ch - '0', ch = getchar());
	return s * w;
}
const int MAXN = 100005;
struct Edge{
	int to, nxt;
} e[MAXN << 1];
int n, m, d[2][MAXN], head[MAXN], tot;
void add(int u, int v){
	e[++tot].to = v;
	e[tot].nxt = head[u];
	head[u] = tot;
}
signed main(){
	int T; 
	n = read(), m = read(), T = read();
	for(int i = 1, u, v; i <= m; i++){
		u = read(), v = read();
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) d[1][i] = d[0][i] = 0x3f3f3f3f;
	priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > > pq;
	pq.push(make_pair(0, 1));
	d[0][1] = 0;
	int size = 0x3f3f3f3f;
	while(!pq.empty()){
		int u = pq.top().second;
		pq.pop();
		for(int i = head[u], v; i; i = e[i].nxt){
			v = e[i].to;
			if(d[0][u] + 1 < d[1][v]){
				d[1][v] = d[0][u] + 1;
				pq.push(make_pair(d[1][v], v));
			}
			if(d[1][u] + 1 < d[0][v]){
				d[0][v] = d[1][u] + 1;
				pq.push(make_pair(d[0][v], v));
			}
		}
	}
	while(T--){
		int x = read(), l = read();
		if(d[l % 2][x] <= l) cout << "Yes" << endl;
		else cout << "No" << endl;
	}
	return 0;
}
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后记

马上就要 CSP-J/S2022 第二轮了，相信很多同学都在抓紧训练。我也想说几句，就是要注意一下态度。你的代码是否会出现被注释的语句呢？你会为了调试而使得 $89$ 行的代码变成 $97$ 行吗？这些应该是基本的。在比赛的过程中为了拿到更多的分数，不仅是为了拿到名次，更是为这一年你对他付出的精力的回报。比赛来临在即，大家一起加油吧！