数据结构之AVL树_给定借点为n的avl树最大高度

AVL树

当确定搜索树的高度总是O(logn)时，能够保证每个搜索树操作所占用的时间为O(logn)。
高度为O(logn)的树成为平衡树 （balanced tree）。AVL树就是1962年提出的一种非常流行的平衡树。

定义

AVL树

空二叉树是AVL树；如果T是一棵非空的二叉树，TL和TR分别是其左子树和右子树，那么当T满足以下条件时，T是一棵AVL树：
1）TL和TR是AVL树；
２) | hl - hr | <=１，hl和hr分别是左右子树的高度。

AVL搜索树

AVL搜索树既是二叉搜索树，也是AVL树。

带索引的AVL搜索树

带索引的AVL搜索树既是带索引的二叉搜索树，也是AVL树。

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AVL树的高度（O(logn)）

假设N_h是一棵高度为h的AVL树中最小的节点数。最坏情况下，左右子树高度分别为h-1,h-2,而且两棵子树都是AVL树。
因此：N_h = N_h-1 + N_h-2 + 1 , N_0 = 0,N_1 = 1
斐波那契数列定义为：F_n = F_n-1 + F_n-2, F_0 = 0,F_1 = 1
有：N_h = F_h+2 - 1, h>=0
由斐波那契定理知道，F_h 约等于Φ^h / √5 ，其中Φ=（1+ √5 ）/2，因此N_h = Φ^(h+2) / √5 - 1
如果树有n个节点，那么树的最大高度为：(log以 Φ 为底（√5（n+1）)）-2 约等于log以1.62为底2.24（n+1） = O(logn)

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AVL树的描述

一般用链表描述。但是，为了简化插入和删除，为每个节点增加一个平衡因子 bf。
节点x的平衡因子bf(x)定义为：x的左子树高度 - x的右子树高度
bf可以取值为：-1，0，1

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AVL搜索树的搜索O(logn)

与二叉搜索树的搜索一模一样，见数据结构之二叉搜索树

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AVL搜索树的插入O(logn)

利用二叉搜索树的插入算法，但会出现一个问题，就是插入之后的树有可能不是一个AVL搜索树。所以，我们的目的是将插入后的树变成一棵AVL搜索树（若插入后不是AVL搜索树）。
插入操作导致不平衡的几种现象：
1）不平衡树中的平衡因子值为：-2，-1，0，1，2
2）平衡因子为2的节点在插入之前为1，平衡因子为-2的节点在插入之前为-1
3）从根到新插入节点的路径上，只有经过的节点的平衡因子在插入后会改变
4）假设A是新插入节点的最近的祖先，它的平衡因子是-2或2，那么，在插入前从A到新插入的节点的路径上，所有节点的平衡因子是0
使树的平衡遭到破坏的唯一一种情形，是插入过程中使得平衡因子bf(X)的值由-1变为-2或者由1变为2。对于后者，插入操作一定是发生在X的左子树中。
当节点A已经确定下来之后，A的不平衡性可归类为L型不平衡（新插入节点在A的左子树中）和R型不平衡。通过确定A的哪一孙子节点在通往新插入节点的路径上，可以进一步细分不平衡类型。这种孙子节点一定存在，因为A的平衡因子是-2或2.根据上面的方法，A节点的不平衡类型可以细分为LL（新插入节点在A节点的左子树的左子树中），LR（新插入节点在A节点的左子树的右子树中），RL,RR四种类型。
为了恢复平衡，针对四种类型，分别有以下旋转方法，使得旋转之后，恢复为一棵AVL搜索树。
LL旋转

由于A的平衡因子改变了，所以处于从B到新插入节点途中的B’的所有节点的平衡因子都将改变，其他节点的平衡因子与旋转前保持一致。重新平衡的树确实是一棵二叉搜索树。

LR旋转

插入操作发生在B的右子树，C存在，但是CL或者CR有可能为空，故bf(C)不确定。重新整理后，bf(B)和bf(A)的值取决于bf(C)在插入之后重新整理之前的值。整理后仍然是一棵二叉搜索树。由于插入前和旋转后的子树高度相同，所以它们的祖先的平衡因子不变。

RL旋转
RR旋转

RL旋转、RR旋转与上面讨论的情形是对称的。把矫正LL和RR型不平衡成为单旋转，把矫正LR和RL型不平衡称为双旋转。对LR型的不平衡的转换可以看作是RR旋转后的LL旋转，而对RL型的旋转可以看作是LL旋转之后的RR旋转。

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AVL搜索树的删除O(logn)

首先用二叉搜索树的删除，然后恢复其平衡。设q是被删除节点的父节点，如果删除此元素之后，其左子树中的最大元素或右子树中的最小元素补过来了，那么q就是补过来的那个元素之前的父节点。
删除之后的现象：
1）如果q的新平衡因子是0，那么它的高度减少了1，并且需要改变其父节点和其他某些祖先的平衡因子。
2）如果q的新平衡因子是-1或1，那么它的高度与删除前相同，无需改变其父节点和其祖先的平衡因子。
3）如果q的新平衡因子是-2或2，那么树 在q节点不平衡。
由于平衡因子可以沿着从q到根节点的路径改变，所以途中节点的平衡因子有可能为-2或2，设A是第一个这样的节点。如果删除发生在A的左子树，那么不平衡是L型的，反之R型。如果删除之后bf(A)=2,那么删除前bf(A)一定是1。因此，A有一颗以B为根的左子树。根据bf(B)的值，可以把R型分为R0,R1,R-1类型。同理，L型也分为L0,L1,L-1类型。
至于如何旋转，类似于插入的旋转。
R0，R1需要右旋，但是这两种旋转之后A,B的新平衡因子不同；R-1需要先左旋后右旋，类似于LR旋转。
不同于插入操作，再删除操作之后，一次旋转可能还为u发达到平衡必须继续检查到达根节点路径上的节点，所需要的旋转次数为O(logn)。

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推荐一篇博客，本人觉得对于如何旋转理解很有帮助AVL树的插入与删除