01 动态规划 --斐波那契数列_动态规划之—斐波那契数列

1.暴力递归

int fib(int n) {
   if (n == 0) {
     return 0;
   }
   if (n == 1 || n == 2) {
     return 1;
   }
   return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

由于暴力递归斐波那契数列问题，时间复杂度为O(2^n)，并且有很多重复计算。所以有针对重复子问题进行简化。简化的方法有两种，备忘录法和DPTable法。

2.备忘录法

自定向下计算的方法。

int fib(int N) {
  if (N = 0) {
    return 0
   }
  int arr[] = new int[N+1];
   
  return helper(arr, N);
}
 
 int helper(int[] arr, int n) {
    
   if (n == 1 || n == 2) {
     return 1;
   }
   //已经计算过，防止重复计算。
   if (arr[n] != 0) {
     return arr[n];
   }
   helper(arr, n-1) + helper(arr, n-2);
   return arr[n];
 }

3.dp数组迭代解法

int fib(int N) {
 if (N == 0) {
   return 0;
 }
 if (N == 1 || N == 2) {
   return 1;
 }
 int dp[] = new int[N + 1];
  //基本case
  dp[1] = dp[2] = 1;
 for (int i = 3; i <= N;i++;) {
   dp[i] = dp[i-1] + dp[i+1];
 }
 return dp[N];
}

4. 由于斐波那契问题只需要保存当前的前两个数字的状态，所以不需要用数组把所有数字保存起来。所以最优解如下：

int fib(int N) {
 if (N == 0) {
  return 0;
 }
 if (N == 1 || N == 2) {
   return 1;
  }
 int cur = 1;
 int prev = 1;
 for (int i = 3; i <= N; i++) {
   int sum = cur + prev;
   prev = cur;
   cur = sum;
  }
 return cur;
}