第十章 重积分

说明：为了复习高数，该文章是学习课程 《高等数学》同济版 全程教学视频（宋浩老师）而记录的笔记，笔记、MATLAB代码来源于本人。若有侵权，请联系本人删除。笔记难免可能出现错误或笔误，若读者发现笔记有错误，欢迎在评论里批评指正。参考书籍： 高等数学下册(同济_第7版)。

一、二重积分的概念（曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、二重积分的定义与几何意义）

二、二重积分的性质

三、二重积分的计算

3.1 二重积分在直角坐标系下的计算（X型、Y型、计算步骤）

例3代码：

clc;
clear ;
close all;
% // 定义x的范围
x = linspace(0, 5, 100);
% // 计算y1和y2的值
y1 = x - 2;
y2 = sqrt(x);
y3 = -sqrt(x);

% // 绘制函数图像
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 2); % y=x-2
hold on;
plot(x, y2, 'r', 'LineWidth', 2); % y=sqrt(x)
plot(x, y3, 'r', 'LineWidth', 2); % y=-sqrt(x)

% // 添加轴标签及标题
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Graph of y^2=x and y=x-2');
% // 添加图例，并设置位置
legend('y=x-2','y^2=x','Location','northwest');
% // 设置坐标轴范围
axis([0 5 -2.5 2.5]);

% 声明符号变量
syms x y
% 解方程组
sol = solve(y^2 - x == 0, y - x + 2 == 0);
% 绘制 y1 和 y2 曲线围成的封闭区域并添加阴影
fill([ 0:0.01:sol.x(1), ...
    sol.x(1):0.01:sol.x(2), ...
    sol.x(2):-0.01:0],[ -sqrt(0:0.01:sol.x(1)),(sol.x(1):0.01:sol.x(2))-2, ...
    sqrt(sol.x(2):-0.01:0) ], 'b', 'FaceAlpha', 0.2)
% // 关闭绘图模式
hold off;
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例4的代码：

clc;
clear ;
close all;
% ---------------- 1.先画第一个圆柱面 -----------
% 定义圆柱体的底面圆的半径
R = 1;
% 定义圆柱面的参数方程
theta = linspace(0, 2*pi, 50);
z = linspace(-1, 1, 15);
[THETA,Z] = meshgrid(theta,z);
X = R*cos(THETA);
Y = R*sin(THETA);

figure;
mesh(X,Y,Z);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
title('圆柱体');
hold on;
% -------------- 2.再画第二个 --------------
% 定义圆柱体的底面圆的半径
R = 1;
% 定义圆柱面的参数方程
theta = linspace(0, 2*pi, 50);
y = linspace(-1, 1, 15);
[THETA,Y] = meshgrid(theta,z);
X = R*cos(THETA);
Z = R*sin(THETA);

mesh(X,Y,Z);
hold off;
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3.2 二重积分在极坐标系下的计算（极坐标的定义、直角坐标系与极坐标系之间的关系、二重积分在极坐标系下的定义、计算ʃ(-∞,+∞) [e^(-x2)] dx与ʃ(-∞,+∞) {e^[-(x2)/2] dx、求面积、什么情况使用极坐标下的二重积分）

画极坐标网格的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 画射线的数据
theta1 = ones( length(0:0.2:4),1 ) * linspace(0, 1/2*pi, 20);
r1 = (0:0.2:4).' * ones(1,20);
% 画弧线的数据
theta2 = linspace(0, 1/2*pi, 20).'*ones( 1,length(0:0.2:4) );
r2 =ones(1,20).'*(0:0.2:4);
% 绘制网格
figure;
polarplot(theta1,r1,'k'); % 绘制射线
hold on;
polarplot(theta2,r2,'k'); % 绘制弧线
text(0, 5, '\theta = 0', 'HorizontalAlignment', 'center'); % 添加极轴标记
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例题中画区域D1、S、D2边界的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 参数R
R = 2;
theta = 0:0.01:pi/2;
%第一个1/4圆的数据  半径R
x1 = R*cos(theta);
y1 = R*sin(theta);
%正方形数据  边长R
x2 = R*ones(1,10);
y2 = linspace(0,R,length(x2));%竖
x3 = linspace(0,R,10);%横
y3 = R*ones(1,10);
%第二个1/4圆的数据  半径sqrt(2)*R
x4 = sqrt(2)*R*cos(theta);
y4 = sqrt(2)*R*sin(theta);
% 画图
figure;
plot(x1,y1);
hold on;
plot(x2,y2);plot(x3,y3);plot(x4,y4);
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
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例6代码：

clc;
clear ;
close all;
%1.生成球体x^2+y^2+z^2=4a^2的数据，即生成半径为2a的球体
a = 1; % 定义常量a的值
n = 50; % 球体的网格线密度
[x,y,z] = sphere(n);%生成以原点为圆心，半径为1的球体数据
x = 2*a*x;
y = 2*a*y;
z = 2*a*z;
%2.生成球体x^2+y^2=2ax的数据，即生成半径为2a的球体
theta = linspace(0,2*pi,n);
z1 = linspace(-2*a-0.4 ,2*a+0.4 ,n);
[theta,z1]=meshgrid(theta,z1);
x1 = a*cos(theta)+a;
y1 = a*sin(theta);
%3.画图
mesh(x,y,z);
hold on;
mesh(x1,y1,z1);
title('x^2+y^2+z^2=4a^2 & x^2+y^2=2ax的网格图');
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
zlabel('z轴');
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四、二重积分的换元法（换元公式、使用条件）

五、三重积分的定义

六、三重积分的计算

6.1 三重积分在直角坐标系下的计算（计算步骤、6种类型、转化成先二重积分后一重积分）

例1的图的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 1.面x+2y+z=1
n = 50;
x = linspace(-0.2,1.2,n);
y = linspace(-0.1,0.6,n);
z = linspace(-0.1,1.2,n);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z1 = 1-X-2*Y;
figure;
mesh(X,Y,Z1);
hold on;
% 2.xoy面
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z2 = 0*ones(length(x),length(y));
mesh(X,Y,Z2);
% 3.xoz面
[X,Z] = meshgrid(x,z);
Y3 = 0*ones(length(x),length(z));
mesh(X,Y3,Z);
% 4.yoz面
[Y,Z] = meshgrid(y,z);
X4 = 0*ones(length(y),length(z));
mesh(X4,Y,Z);
plot3(x,(1-x)/2,0*ones(length(x),1));
plot3(x,0*ones(length(x),1),1-x);
plot3(0*ones(length(y),1),y,1-2*y);
plot3(x,0*ones(length(x),1),0*ones(length(x),1));%x轴
plot3(0*ones(length(y),1),y,0*ones(length(y),1));%y轴
plot3(0*ones(length(z),1),0*ones(length(z),1),z);%z轴
title('区域Ω的网格图');
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
zlabel('z轴');
hold off;
hidden off %打开透视
colorbar();
colormap(jet); %用了 jet 颜色表
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例1的计算代码：

clc;
clear ;
close all;
% ------------------ 1.XYZ型
syms x y z;
fun = x; % 定义被积函数
xmin = 0;
xmax = 1;
ymin = 0;
ymax = (1-x)/2;
zmin = 0;
zmax = 1-x-2*y;
Q = int(int(int(fun, z, zmin, zmax), y, ymin, ymax), x, xmin, xmax); % 进行三重积分
% disp(rats(Q));
fprintf('XYZ型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q))); %输出结果
% ------------- 2.YXZ型
syms x1 y1 z1;
fun1 = x1; % 定义被积函数
xmin1 = 0;
xmax1 = 1-2*y1;
ymin1 = 0;
ymax1 = 1/2;
zmin1 = 0;
zmax1 = 1-x1-2*y1;
Q1 = int(int(int(fun1, z1, zmin1, zmax1), x1, xmin1, xmax1), y1, ymin1, ymax1); % 进行三重积分
% disp(rats(Q1));
fprintf('YXZ型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q1))); %输出结果
% ------------- 3.XZY型
syms x2 y2 z2;
fun2 = x2; % 定义被积函数
xmin2 = 0;
xmax2 = 1;
ymin2 = 0;
ymax2 = (1-x2-z2)/2;
zmin2 = 0;
zmax2 = 1-x2;
Q2 = int(int(int(fun2,y2, ymin2, ymax2 ), z2, zmin2, zmax2 ), x2, xmin2, xmax2); % 进行三重积分
% disp(rats(Q2));
fprintf('XZY型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q2))); %输出结果
% ------------- 4.ZXY型
syms x3 y3 z3;
fun3 = x3; % 定义被积函数
xmin3 = 0;
xmax3 = 1-z3;
ymin3 = 0;
ymax3 = (1-x3-z3)/2;
zmin3 = 0;
zmax3 = 1;
Q3 = int(int(int(fun3,y3, ymin3, ymax3 ), x3, xmin3, xmax3), z3, zmin3, zmax3); % 进行三重积分
% disp(rats(Q3));
fprintf('ZXY型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q3))); %输出结果
% ------------- 5.YZX型
syms x4 y4 z4;
fun4 = x4; % 定义被积函数
xmin4 = 0;
xmax4 = 1-2*y4-z4;
ymin4 = 0;
ymax4 = 1/2;
zmin4 = 0;
zmax4 = 1-2*y4;
Q4 = int(int(int(fun4,x4, xmin4, xmax4 ), z4, zmin4, zmax4 ),y4, ymin4, ymax4); % 进行三重积分
% disp(rats(Q4));
fprintf('YZX型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q4))); %输出结果
% ------------- 6.YZX型
syms x5 y5 z5;
fun5 = x5; % 定义被积函数
xmin5 = 0;
xmax5 = 1-2*y5-z5;
ymin5 = 0;
ymax5 = (1-z5)/2;
zmin5 = 0;
zmax5 = 1;
Q5 = int(int(int(fun5,x5, xmin5, xmax5 ),y5, ymin5, ymax5 ),z5, zmin5, zmax5); % 进行三重积分
% disp(rats(Q5));
fprintf('YZX型积分结果为：%s\n',num2str(rats(Q5))); %输出结果
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6.2 三重积分在柱面坐标系下的计算（什么是柱面坐标系、直角坐标系与柱面坐标的关系、柱面坐标系下的三重积分的公式）

例2的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 参数
a = 4;b = 3;c = 5;
n = 50;%网格密度
theta = linspace(0,2*pi,n);
phi = linspace(0,pi,n);
[Phi,Theta] = meshgrid(theta,phi);
% 椭球面的参数方程
x = a*sin(Phi).*cos(Theta);
y = b*sin(Phi).*sin(Theta);
z = c*cos(Phi).*ones(size(Theta));
figure;
mesh(x,y,z);
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
zlabel('z轴');
hidden off %打开透视
colorbar();
colormap(jet); %用了 jet 颜色表
% z=c1的切面
z1=2;
x1 = a*(1-z1^2/c^2)*cos(theta);
y1 = b*(1-z1^2/c^2)*sin(theta);
figure;
plot(x1,y1,'Color',[251 111 66]/255,'LineWidth',1);
hold on;
fill(x1,y1,[0,0,1],'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.05);
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
title('z=2的切面');
hold off
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例3的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 1.z=x^2+y^2的数据
theta = linspace(0,2*pi,100);
z = 0:0.05:5;
[Theta,z1] = meshgrid(theta,z);
x1 = sqrt(z1).*cos(Theta);
y1 = sqrt(z1).*sin(Theta);
% 2.z=4的数据
x2 = -2.4:0.2:2.4;
y2 = -2.4:0.2:2.4;
[x2,y2]=meshgrid(x2,y2);
z2 = 4*ones(size(x2));
% 3.4=x^2+y^2的数据,为了使图更清楚，可加上这条线
x3 = 2*cos(theta);
y3 = 2*sin(theta);
z3 = 4*ones(size(theta));
% 4.画图
figure;
mesh(x1,y1,z1);
hold on;
mesh(x2,y2,z2);
plot3(x3,y3,z3,'LineWidth',1.5);
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
title('区域Ω');
hold off
hidden off %打开透视
colorbar();
colormap(jet); %用了 jet 颜色表
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6.3 三重积分在球面坐标系下的计算（什么是球面坐标系、直角坐标系与球面坐标的关系、球面坐标系下的三重积分的公式）

例的代码：

clc;
clear ;
close all;
% 1.z=sqrt(x^2+y^2)的数据
theta = linspace(0,2*pi,100);
z = 0:0.05:2.4;
[Theta,z1] = meshgrid(theta,z);
x1 = z1.*cos(Theta);
y1 = z1.*sin(Theta);
% 2.x^2+y^2+z^2=R^2的数据  为了更好观察，这里只画半个球面
R = 2;
phi = linspace(0,pi/2,30);
[Theta,Phi] = meshgrid(theta,phi);
x2 = R*sin(Phi).*cos(Theta);
y2 = R*sin(Phi).*sin(Theta);
z2 = R*cos(Phi);
% 3.画图
figure;
mesh(x1,y1,z1);
hold on;
mesh(x2,y2,z2);
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
title('区域Ω');
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hidden off %打开透视
colorbar();
colormap(jet); %用了 jet 颜色表
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七、重积分的应用

7.1 求曲面的面积

7.2 求平面薄片的质心

7.3 求转动惯量

例3算Mx的代码：

syms x y;
fun = x^2*sin(y); % 定义被积函数
xmin = 2*sin(y);
xmax = 4*sin(y);
ymin = 0;
ymax = pi;
Q = int(int(fun,x, xmin, xmax ),y, ymin, ymax ); % 进行二重积分
fprintf('\tMx积分结果为：\n\t\t');
disp(Q);
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7.4 求引力