Soft Actor-Critic 论文笔记_soft actor critic

无模型深度强化学习算法（Model-free DRL）有两个主要缺点：

1.非常高的样本复杂性（需要与环境进行大量交互产生大量样本）
2.脆弱的收敛性（它的收敛性受超参数影响严重：学习率，探索常量等等）

这两个缺点限制了其应用于复杂的真实世界任务。

有些同策略算法（On-policy）样本效率低。比如TRPO，A3C，PPO等是同策略，他们每一步梯度计算都需要新的样本收集。而异策略算法（Off-policy），可以重复使用过去的经验。重复使用过去经验（经验回放Experiences Replay ）并不能直接使用于传统策略梯度框架，但其在基于Q学习的方法上有直接使用。此外异策略学习，高维空间，与神经网络的结合会带来稳定性和收敛性的挑战。这两个挑战对于连续状态动作任务（连续任务中Q-Learning的最大化动作通过actor直接选择）更加明显，DDPG就是一个代表。但是DDPG虽然实现在Off-policy leraning中重复利用样本，但是其对超参敏感，并且收敛性脆弱。
为了设计稳定高效的无模型DRL，本文，提出来一种异策略（Off-policy）深度AC算法，Soft Actor-Critic（SAC）,SAC基于最大熵强化学习框架。在这个框架中，演员的目标是最大化期望的奖励，同时也最大化熵。**这样做的目的是在完成任务同时行动尽量随机化。**注意是虽然实验环境是连续任务，不同于DDPG将异策略AC与确定性actor（确定性策略）结合，SAC是将异策略AC方法和随机Actor（随机策略）

最大化熵的设置的优点：改变强化学习的目标，可以实际性提升探索性和鲁棒性

实验上，SAC在连续任务上实现了state-of-the-art，而且相比于其他异策略算法更加稳定，在不同随机种子种表现相似。

SAC

首先当然是强化学习中的MDP，通过元组$(S,A,p,r)$定义，$A,S$分别是状态和动作空间，$p$是转移概率：$S\times S\times A\to [0,\infty )$. 环境给出的奖赏是有界的$r:S\times A\to [r_{min},r_{max}]$. 策略$\pi (a_t|s_t)$引起的轨迹分布的状态和状态 - 动作边缘分布分别表示${\rho }_{\pi }(s_t)$和${\rho }_{\pi }(s_t|a_t)$.

通常强化学习方法的目标是最大化累积奖赏：$$\sum _t{\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\rho }_{\pi }}[r(s_t,a_t)]$$而SAC的目标是带熵的累积奖赏：$$J(\pi )=\sum _{t=0}^T{\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\rho }_{\pi }}[r(s_t,a_t)+\alpha H(\pi (\cdot |s_t))](1)$$
其中参数$\alpha$控制最优策略的随机程度，以及上策略熵相对于奖赏的重要程度。对于无限的情况我们可以加上折扣因子.

软策略迭代（Soft policy Iteration）

Soft policy evaluation:

策略评估阶段，根据最大熵目标（1）式计算策略对应的值函数。对于一个固定的策略其软Q值（Soft Q-value）通过改正的贝尔曼操作${\tau }^{\pi }$：
$${\tau }^{\pi }Q(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+\gamma {\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p}[V(s_{t+1})](2)$$其中
$$V(s_t)={\mathbb{E}}_{a_t\sim \pi }[Q(s_t,a_t)-log\pi (a_t|s_t)](3)$$是软状态值函数（Soft state value function）.那么软策略评估可以通过$Q^{k+1}={\tau }^{\pi }{Q}^k$迭代，若通过无限次迭代，这样最终Q会收敛到策略$\pi$的软$Q$值函数.
定义带熵的奖赏：$$r_{\pi }(s_t,a_t)=r(s_t,a_t)+{\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p}[H(\pi (\cdot |s_{t+1}))]$$则更新规则为：$$Q(s_t,a_t)\leftarrow r_{\pi }(s_t,a_t)+\gamma {\mathbb{E}}_{s_{t+1}\sim p,a_{t+1}\sim \pi }[Q(s_{t+1},a_{t+1})]$$

（解释：
$$Q^{k+1}(s,a)=r(s,a)+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}[V(s^{\prime })]$$其中$$V(s^{\prime })=E_{a^{\prime }\sim \pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })-\alpha log(\pi (a^{\prime }|s^{\prime }))]$$(式子中没有出现alpha但是代码中是用了)，两个式子合并得到
$$Q^{k+1}(s,a)=r(s,a)+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}{\mathbb{E}}_{a^{\prime }\sim \pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })-log(\pi (a^{\prime }|s^{\prime }))]=r(s,a)+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}{\mathbb{E}}_{a^{\prime }\sim \pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}{\mathbb{E}}_{a^{\prime }\sim \pi }[-log(\pi (a^{\prime }|s^{\prime }))]$$$$=r(s,a)+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}{\mathbb{E}}_{a^{\prime }\sim \pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]+{\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}[H(\pi (\cdot |s^{\prime }))]$$ $$=r_{\pi }(s,a)+\gamma {\mathbb{E}}_{s^{\prime }\sim p}{\mathbb{E}}_{a^{\prime }\sim \pi }[Q^k(s^{\prime },a^{\prime })]$$也就是实际上（2）（3）式的定义等价于更新规则
）

Soft Policy Improvement：

策略更新：$${\pi }_{new}=argmin{D}_{KL}(\pi (\cdot |s_t)||\frac{exp(Q^{{\pi }_{old}}(s_t,\cdot ))}{Z^{{\pi }_{old}}(s_t)})(4)$$这里是把$Q$值函数转换为概率分布来表示策略，然后求策略和Q值策略的KL散度最小时的策略. 其中${\pi }_{old}\in \prod$，${\pi }_{new}$是最优化上式的策略也同样在策略空间$\prod$中，满足$Q^{{\pi }_{new}}(s_t,a_t)\ge Q^{{\pi }_{old}}(s_t,a_t)$ for all $(s_t,a_t)\in S\times A$. 这样保证每次更新策略至少优于旧策略.

Final

软策略迭代过程（Soft policy Iteration）：就是策略评估和策略改进两个过程不断迭代，最终策略会收敛到${\pi }^{\ast }$，满足$Q^{\ast }(s_t,a_t)\ge Q^{\pi }(s_t,a_t)$ for all $\pi \in \prod and(s_t,a_t)\in S\times A$. 证明过程类似Sutton, Intriduction RL Chapter 4.

Soft Actor-Critic

上面的软策略迭代过程是基于tabular（表格式环境）来推导的，对于连续情况，就需要引入函数逼近。首先定义软状态值函数$V_{\psi }(s_t)$，软$Q$值函数$Q_{\theta }(s_t,a_t)$，策略函数${\pi }_{\varphi }(a_t|s_t)$(注意是个随机策略)。对应的参数分别是$\psi ,\theta ,\varphi$.

软状态值函数的目标函数是：

梯度：

软$Q$值函数的目标函数是：

梯度：

注意这里的target网络只使用了一个$V_{\bar{\psi }}$.
策略更新的目标函数：

这里策略表示为带噪声的神经网络：

其中$\epsilon$是输入的噪声向量。那么策略的目标函数可以重新写成（这个式子是原目标函数省略了$Z_{\theta }(s_t)$，因为它是与$\varphi$无关的量，求导为0，对梯度无影响所以省略了。KL散度计算）：

对上式求导(把期望去掉，因为期望通过多次批量抽样实现)得梯度：

算法：