研习代码 day49 | 动态规划——子序列问题（回文）_最长回文子序列动态规划

一、回文子串（连续）

        1.1 题目

        给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

        回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

        子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

        具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 由小写英文字母组成

        1.2 题目链接

        647.回文子串

        1.3 解题思路和过程想法

        （1）解题思路

        分析：当前的匹配情况会受到之前元素的情况所影响，且影响的方式是类似的，考虑采用动态规划的策略。
        # 数组：以 i 为开端且以 j 为结尾的子串是否为回文子串的结果 dp[i][j]
        # 递推关系：如果子串中间dp[i+1][j-1]是回文子串，且其两外侧元素相等，则 dp[i][j] = True
        # 初始化：为便于最后判断与覆盖，全部初始化为 False
                        dp = [[False]*length for _ in range(length)]
                        result = 0
         # 遍历：因为递推关系是从左下角往右上方向递推，所以遍历方向——从下往上，从左往右

        （2）过程想法

        最初想的是用一维动态规划数组，但是实在找不到递推关系

        1.4 代码

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        length = len(s)
        # 数组：以i为开端且以j为结尾的子串是否为回文子串的结果 dp[i][j]
        # 递推关系：如果子串中间dp[i+1][j-1]是回文子串，且其两外侧元素相等，则 dp[i][j] = True
        # 初始化：为便于最后判断与覆盖，全部初始化为 False
        dp = [[False]*length for _ in range(length)]
        result = 0
 
        # 遍历：因为递推关系是从左下角往右上方向递推，所以遍历方向——从下往上，从左往右
        for i in range(length-1,-1,-1):
            for j in range(i,length):
                if s[i] == s[j]:
                    if j-i <= 1:     # 两种情况：只有一个元素，或两相同元素
                        dp[i][j] = True
                        result += 1
                    else:           # 中间不止一个元素，需结合中间子串的结果进行判断
                        if dp[i+1][j-1]:
                            dp[i][j] = True
                            result += 1
 
        return result

二、最长回文子序列（不连续）

        2.1 题目

        给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

        子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 仅由小写英文字母组成

        2.2 题目链接

        516.最长回文子序列

        2.3 解题思路和过程想法

        （1）解题思路

        分析：当前的匹配情况会受到之前元素的情况所影响，且影响的方式是类似的，考虑采用动态规划的策略。   
        # 数组：以i为开端且以j为结尾的子串中回文子串的长度为 dp[i][j]
                             dp = [[0]*length for _ in range(length)]
        # 递推关系：若两外侧元素相等，则 dp[i][j] =  dp[i+1][j-1] + 2
                             否则，dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])
        # 初始化：因为缺少 i == j 的情况，所以对这部分进行初始化
                             dp[i][i] = 1
        # 遍历：因为递推关系是从左下角往右上方向、从下方往上方、从左方往右方递推，所以遍历方向——从下往上，从左往右

        （2）过程想法

        有上一题的铺垫，这题会好做一些

        2.4 代码

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        length = len(s)
        # 数组：以i为开端且以j为结尾的子串中回文子串的长度为 dp[i][j]
        dp = [[0]*length for _ in range(length)]
        # 递推关系：若两外侧元素相等，则 dp[i][j] =  dp[i+1][j-1] + 2
        #          否则，dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])
        # 初始化：因为缺少 i == j 的情况，所以对这部分进行初始化
        for i in range(length):
            dp[i][i] = 1
 
        # 遍历：因为递推关系是从左下角往右上方向、从下方往上方、从左方往右方递推，所以遍历方向——从下往上，从左往右
        for i in range(length-1,-1,-1):
            for j in range(i+1,length):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:            
                    dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j])
 
        return dp[0][length-1]