python实现一元线性回归_一元线性回归python

这个专栏主要是自己用python入门深度学习和图像识别的一些学习笔记和心得体会。既有一些算法理论的理解，也有python代码的实现，争取对一个问题做到知其然并知其所以然，理论和实践并进。大家一起加油！栏目的框架主要从最基础的机器学习开始，到神经网络的基础，再用pytorch实现图像分类，目标检测，分割，产生式模型等。使用的工具主要是numpy和pytorch。

1.线性回归模型介绍

线性回归是机器学习中最为简单的模型。首先介绍两个概念，线性和回归。

线性：即变量之间的关系为一次函数，也就是说当因变量x和自变量y的关系画在平面上是一条直线。

回归：即预测一个连续问题的数值。举个很简单的例子，假设已知我国过去五个年份的人口，可以预测未来几年的人口。就是根据年份和人口数量可能呈线性关系来预测拟合的。

因此一元线性回归就很好理解了，就是我们的自变量和因变量只有一个。（例如例子里的年份和人口），当自变量有多个的时候（例如每个人的年龄，收入），一元线性回归就拓展成了多元线性回归。

2.一元线性回归最直观数学理解

讲白了，一元线性回归要我们干的事情就是你已知了一大堆互相对应的x和y，(并且发现了他们之间是近似于线性关系的，可以通过画散点图来看，spss非常方便！)，你希望对于未知的x，你也能预测出对应的y。

用数学模型表示就是y=a*x+b,你希望在训练过程中求解出那个最完美的a，b，得到a，b后，你再来一个新的x值，预测的y值也是比较准确的。

那么最直观地想法就是我需要让我的预测值和真实值差值最小。即求min（y_predict-y）,乍一眼看去没问题。但是你细细一想，y_predict一定是有正有负的，累计求和后正负是会抵消的，这显然与现实不符。

那马上就会想到，求（|y_predict-y|），这是没有问题的，但是我们要求参数的最小值必然要求导。绝对值函数我们知道它是不连续的，故无法求导又舍弃了。

因此，最完美的方法就是求sum（(y_predict-y)^2）/n,这里就是对预测值和真实值的差求平方，因为有多个值，我们对他求和后除以样本的数量。

再把y=a*x+b带入就得我们的目标式子，专业名词叫误差函数：

那么我要去求参数a和b的最小值，就是分别对a和b求偏导。推导的过程就不列了，各大博客都有，这里直接给出结果：

这里的x_mean,y_mean就是平均值。至此，我们训练的任务也就完成了。

那么下一步就是需要对我们的模型做个评估，它究竟准确率如何呢？我们可以通过前面的误差函数来打分，但这里给出一个更为科学的评估函数，专门针对线性函数的R Square，也叫拟合优度。

这个公式科学在哪呢，仔细观察发现它的分子衡量的是y的预测值和真实值之间的差，分母衡量的是y的平均值和y的差，分母代表的是基准模型。也就是说当我们的模型预测出的值和基准模型一样时，r_square=0,当模型预测值和真实值一模一样，r_square=1,如果r_square<0,说明连基准模型都达不到。

3.python实现一元线性回归

有了理论的公式推导，我们完全可以实现它，总体思路如下：
1.将一元线性回归封装到类中
初始化参数a,b
训练函数，训练出a，b
预测函数，对于给定的x向量，可以输出y_predict
打分函数，利用r_square评估我们的模型
2.在主函数中输入数据集进行测试，并画出散点图

代码和注释如下：

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class SingleLinearRegression:
    def __init__(self):   #初始化a,b
        self.a_=None;
        self.b_=None;

    def fit(self,x_train,y_train):  #训练函数，训练出a,b
        x_mean = np.mean(x_train)
        y_mean = np.mean(y_train)  # 求x和y的平均值

        fenzi = 0.0;
        fenmu = 0.0;  # 对分子分母初始化
        for x_i, y_i in zip(x_train, y_train):  # 将x,y打包成元组的形式
            fenzi += (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean)  # 根据最小二乘法求出参数
            fenmu += (x_i - x_mean) ** 2

        self.a_ = fenzi / fenmu
        self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean  #得到a,b

        return self

    def predict(self,x_test_group):  #预测函数，用户输入一组x（为一维向量）,可以进行y的预测
        result=[]  #初始化一个列表，用来储存预测的y值
        for x_test in x_test_group:  #对于每个输入的x都计算它对应的预测y值并加入列表中
            result.append(self.a_*x_test+self.b_)
        y_predict=np.array(result)  #将列表转换为矩阵向量形式方便运算

        return y_predict

    def r_square(self,y_true,y_predict):  #打分函数，评估该模型的准确率
        mse=np.sum((y_true-y_predict)**2)/len(y_true)  #计算均方误差mse
        var=np.var(y_true)  #计算方差
        r=1-mse/var #计算拟合优度r的平方
        return r

if __name__=='__main__':
    x = np.array([1, 2, 4, 6, 8])
    y = np.array([2, 5, 7, 8, 9])
    l=SingleLinearRegression()  #创建一个对象，接下来调用对象的方法
    l.fit(x,y)
    print('6,8对应的的预测值是：')
    print(l.predict([6,8]))
    print('该模型的评估分数为：')
    print(l.r_square([8,9],l.predict([6,8])))

    #画出散点图和预测图
    plt.scatter(x, y, color='b')  # 画出原来值得散点图
    plt.plot(x,l.predict(x), color='r')  # 画出预测后的线

    plt.xlabel('x')  # 写上标签
    plt.ylabel('y')

    plt.show()  # 作图函数
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结果是：

3.心得体会与收获

一元线性回归无论是原理理解还是代码实现应该都不太难，但是在代码实现中还是涉及到一些技巧，例如：

1.模型都应该封装到类中，一些需要训练的参数在类中初始化并训练。

2.可以使用python语法的zip将两对向量打包成元组的形式便于计算。

3.此题中的r_square可以转化为误差函数/方差的形式便于编程。

基本就这些，下一篇准备在一元线性回归的基础上更进一步，实现多元线性回归。