音频滤波笔记之小波阈值滤波器

小波阈值滤波算法

小波阈值滤波原理

对信号进行小波分解时，系数分解为近似小波系数（信号的低频成分）和细节小波系数（信号的高频成分）。
小波阈值去噪方法认为，信号中的噪声存在于高频成分之中，因此，对于细节小波系数作阈值收缩处理，再将个小波系数进行组合重构就得到去噪后的信号。

小波阀值去噪的基本思想是将信号通过小波变换（采用Mallat算法）后，信号产生的小波系数含有信号的重要信息，将信号经小波分解后小波系数较大，噪声的小波系数较小，并且噪声的小波系数要小于信号的小波系数，通过选取一个合适的阀值，大于阀值的小波系数被认为是有信号产生的，应予以保留，小于阀值的则认为是噪声产生的，置为零从而达到去噪的目的。

从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程图如下所示：

$$S(k)=f(k)+\epsilon \ast e(k),k=0,\mathrm{1......}n-1$$

其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。

假设，e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,我们对 s(k)信号进行小波分解的时候,则噪声部分通常包含在HL、LH、HH中,如下图所示，只要对HL、LH、HH作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

我们可以看到，小波去噪的原理是比较简单类，类似以往我们常见的低通滤波器的方法，但是由于小波去找保留了特征提取的部分，所以性能上是优于传统的去噪方法的。

小波去噪的基本方法

一般来说， 一维信号的降噪过程可以分为 3个步骤：

• 信号的小波分解： 选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解计算。
• 小波分解高频系数的阈值量化： 对第1层到第N层的每一层高频系数（三个方向）， 选择一个阈值进行阈值量化处理．
  这一步是最关键的一步，主要体现在阈值的选择与量化处理的过程，在每层阈值的选择上matlab提供了很多自适应的方法， 这里不一一介绍，量化处理方法主要有硬阈值量化与软阈值量化。下图是二者的区别：

上面左图是硬阈值量化，右图是软阈值量化。采用两种不同的方法，达到的效果是，硬阈值方法可以很好地保留信号边缘等局部特征，软阈值处理相对要平滑，但会造成边缘模糊等失真现象。

• 信号的小波重构： 根据小波分解的第 N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N 层的高频系数，进行信号的小波重构。

小波阀值去噪的基本问题包括三个方面：小波基的选择，阀值的选择，阀值函数的选择。
（1）小波基的选择：通常我们希望所选取的小波满足以下条件：正交性、高消失矩、紧支性、对称性或反对称性。但事实上具有上述性质的小波是不可能存在的，因为小波是对称或反对称的只有Haar小波，并且高消失矩与紧支性是一对矛盾，所以在应用的时候一般选取具有紧支的小波以及根据信号的特征来选取较为合适的小波。
（2）阀值的选择：直接影响去噪效果的一个重要因素就是阀值的选取，不同的阀值选取将有不同的去噪效果。目前主要有通用阀值（VisuShrink）、SureShrink阀值、Minimax阀值、BayesShrink阀值等。
（3）阀值函数的选择：阀值函数是修正小波系数的规则，不同的反之函数体现了不同的处理小波系数的策略。最常用的阀值函数有两种：一种是硬阀值函数，另一种是软阀值函数。还有一种介于软、硬阀值函数之间的Garrote函数。
另外，对于去噪效果好坏的评价，常用信号的信噪比（SNR）与估计信号同原始信号的均方根误差（RMSE）来判断。

python 代码

# 读excel表格数据进行去噪，并使用自适应阈值计算和软阈值收缩处理
import librosa
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import pywt
import scipy.io.wavfile as wav

# 封装成函数
def sgn(num):
    if(num > 0.0):
        return 1.0
    elif(num == 0.0):
        return 0.0
    else:
        return -1.0

def wavelet_noising(new_df):
    data = new_df
    data = data.tolist()  # 将np.ndarray()转化为列表
    w = pywt.Wavelet('sym8')  # 选择sym8小波基
    [ca5, cd5, cd4, cd3, cd2, cd1] = pywt.wavedec(data, w, level=5)  # 5层小波分解
    length1 = len(cd1)
    length0 = len(data)

    Cd1 = np.array(cd1)
    abs_cd1 = np.abs(Cd1)
    median_cd1 = np.median(abs_cd1)

    sigma = (1.0/0.6745)*median_cd1
    lamda = sigma * math.sqrt(2.0*math.log(float(length0), math.e))  # 固定阈值计算
    usecoeffs = []
    usecoeffs.append(ca5)  # 向列表末尾添加对象

    # 软硬阈值折中的方法
    a = 0.5
    for k in range(length1):
        if (abs(cd1[k]) >= lamda):
            cd1[k] = sgn(cd1[k]) * (abs(cd1[k]) - a*lamda)
        else:
            cd1[k] = 0.0

    length2 = len(cd2)
    for k in range(length2):
        if (abs(cd2[k]) >= lamda):
            cd2[k] = sgn(cd2[k])*(abs(cd2[k])-a*lamda)
        else:
            cd2[k] = 0.0

    length3 = len(cd3)
    for k in range(length3):
        if (abs(cd3[k]) >= lamda):
            cd3[k] = sgn(cd3[k]) * (abs(cd3[k]) - a * lamda)
        else:
            cd3[k] = 0.0

    length4 = len(cd4)
    for k in range(length4):
        if (abs(cd4[k]) >= lamda):
            cd4[k] = sgn(cd4[k]) * (abs(cd4[k]) - a * lamda)
        else:
            cd4[k] = 0.0

    length5 = len(cd5)
    for k in range(length5):
        if (abs(cd5[k]) >= lamda):
            cd5[k] = sgn(cd5[k]) * (abs(cd5[k]) - a * lamda)
        else:
            cd5[k] = 0.0

    usecoeffs.append(cd5)
    usecoeffs.append(cd4)
    usecoeffs.append(cd3)
    usecoeffs.append(cd2)
    usecoeffs.append(cd1)
    recoeffs = pywt.waverec(usecoeffs, w)  # 信号重构
    return recoeffs

# 主函数
# path = "" #数据路径

# 提取数据
path = 'output.wav'
data, sr = librosa.load(path, sr = 16000)
'''data = pd.read_csv(path)
data = data.iloc[:, 0]  # 取第一列数据'''
output_path='output1.wav'
plt.plot(data)
plt.show()
print(data)

data_denoising = wavelet_noising(data)  # 调用函数进行小波去噪

wav.write(output_path, sr, data_denoising)
plt.plot(data_denoising)  # 显示去噪结果
plt.show()


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根据需要安装依赖

参考文档

音频数据小波去噪-python

小波去噪基本概念