矩阵分解(MF,SVD)和协同过滤(CF)_svd frmi

协同过滤Collaborative Filtering

使用用户历史的行为来做未来的推荐。忽略了关于用户或item的先验信息。

• CF使用与我相似的用户的评分来预测我的评分
• CF是领域无关的，不需要知道现在在对什么评分，谁在评分，评分是多少

一种CF方法称为基于邻域的方法。例如

1. 定义一个相似度评分，基于用户之间评分的重叠度
2. 基于相似度评分，使用邻域内的评分来为我喜欢的item打分

过滤方法并不是互斥的。内容信息可以被添加到协同过滤系统来提升性能。

矩阵分解MF

SVD

我们知道矩阵的特征分解可以将矩阵分解成一组特征向量和特征值。
现在介绍另一种矩阵分解的方法，称为奇异值分解，将矩阵分解为奇异向量和奇异值。
每个实数矩阵都有一个奇异值分解，但不一定都有特征分解。例如，非方阵的矩阵没有特征分解，这时只能用奇异值分解。
在特征分解中，我们可以将矩阵M写作$M=Vdiag(\lambda )V^{-1}$。
奇异值分解中，将矩阵M分解成$M=US{V}^T$，这里U和V都是正交矩阵，S是对角矩阵（S不一定是方阵）。
矩阵S对角线上的元素被称为矩阵M的奇异值。
矩阵U的列向量被称为左奇异向量。矩阵V的列向量被称为右奇异向量。
事实上，M的左奇异向量是$M{M}^T$的特征向量。M的右奇异向量是$M^{T}M$（协方差矩阵）的特征向量。M的非零奇异值是$M^{T}M$的特征值的平方根，同时也是$M{M}^T$的特征值的平方根。
证明
对于正交矩阵有$A^{-1}=A^T$
$M{M}^{T}U=US{V}^{T}V{S}^T{U}^T=U{S}^2=S^{2}U$，所以U的列向量是$M{M}^T$的特征向量。

SVD应用

SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。