傅里叶变换（低通滤波器与高通滤波器）_傅里叶级数展开法求滤波器

傅里叶变换

我们看到的世界通常都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
但如果用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域。

能够贯穿时域与频域的方法之一，就是傅里叶分析。傅里叶分析可以分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换（Fourier Transformation）。傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波。傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

傅里叶告诉我们，任何周期函数都可以看作是不同振幅、不同相位正弦波的叠加。

傅里叶变换的作用——将时域转换成频域

• 高频：变化剧烈的灰度分量，例如边界
• 低频：变化缓慢的灰度分量，例如一片大海

滤波

• 低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊
• 高通滤波器：只保留高频，会使得图像细节增强

OpenCV中涉及傅里叶变换的函数为cv2.dft()和cv2.idft()，输入图像需要先转换成np.float32。
得到的结果中频率为0的部分会在左上角，通常需要转换到中心位置，可以通过shift变换来实现。
cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部和虚部），通常还需要转换成图像格式才能展示（[0, 255]）。

低通滤波器实现图像模糊：

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# DFT
img = cv2.imread(r'F:/aixin.jpg', 0)  # img.dtype为uint8
img_float32 = np.float32(img)  # 将uint8格式的图像转换成float32格式
dft = cv2.dft(img_float32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里叶变换，得到频谱图，有两个通道，低频部分往往在频谱图的左上角
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将频谱图左上角低频部分转换到中心位置

height, width = img.shape
centerh, centerw = int(height/2), int(width/2)  # 获取图像中心位置

# 低通滤波器
mask = np.zeros((height, width, 2), np.uint8)
mask[centerh-30:centerh+30, centerw-30:centerw+30] = 1

# IDFT
fshift = dft_shift * mask  # dft_shift只保留了中心部分的低频信息
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)  # 将中心位置的低频转回到左上角
img_back = cv2.idft(f_ishift)  # 将频谱图还原成图像，此时的图像还无法展示，因为包含双通道（实部和虚部）
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])  # 使得图像能够展示

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('source')
plt.imshow(img, 'gray')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('low frequency')
plt.imshow(img_back, 'gray')

plt.show()
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高通滤波器实现图像细节增强：

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# DFT
img = cv2.imread(r'F:/aixin.jpg', 0)  # img.dtype为uint8
img_float32 = np.float32(img)  # 将uint8格式的图像转换成float32格式
dft = cv2.dft(img_float32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里叶变换，得到频谱图，有两个通道，低频部分往往在频谱图的左上角
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将频谱图左上角低频部分转换到中心位置

height, width = img.shape
centerh, centerw = int(height/2), int(width/2)  # 获取图像中心位置

# 高通滤波器
mask = np.ones((height, width, 2), np.uint8)
mask[centerh-30:centerh+30, centerw-30:centerw+30] = 0

# IDFT
fshift = dft_shift * mask  # dft_shift只保留了中心部分的低频信息
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)  # 将中心位置的低频转回到左上角
img_back = cv2.idft(f_ishift)  # 将频谱图还原成图像，此时的图像还无法展示，因为包含双通道（实部和虚部）
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])  # 使得图像能够展示

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('source')
plt.imshow(img, 'gray')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('high frequency')
plt.imshow(img_back, 'gray')

plt.show()
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