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傅里叶变换(低通滤波器与高通滤波器)_傅里叶级数展开法求滤波器

傅里叶级数展开法求滤波器

傅里叶变换

我们看到的世界通常都以时间贯穿,股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析
但如果用另一种方法来观察世界的话,你会发现世界是永恒不变的,这个静止的世界就叫做频域

能够贯穿时域与频域的方法之一,就是傅里叶分析。傅里叶分析可以分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation)。傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的(离散的)正弦波。傅里叶级数,在时域是一个周期且连续的函数,而在频域是一个非周期离散的函数。傅里叶变换,则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。

傅里叶告诉我们,任何周期函数都可以看作是不同振幅、不同相位正弦波的叠加。

傅里叶变换的作用——将时域转换成频域

  • 高频:变化剧烈的灰度分量,例如边界
  • 低频:变化缓慢的灰度分量,例如一片大海

滤波

  • 低通滤波器:只保留低频,会使得图像模糊
  • 高通滤波器:只保留高频,会使得图像细节增强

OpenCV中涉及傅里叶变换的函数为cv2.dft()和cv2.idft(),输入图像需要先转换成np.float32。
得到的结果中频率为0的部分会在左上角,通常需要转换到中心位置,可以通过shift变换来实现。
cv2.dft()返回的结果是双通道的(实部和虚部),通常还需要转换成图像格式才能展示([0, 255])。

低通滤波器实现图像模糊:

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# DFT
img = cv2.imread(r'F:/aixin.jpg', 0)  # img.dtype为uint8
img_float32 = np.float32(img)  # 将uint8格式的图像转换成float32格式
dft = cv2.dft(img_float32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里叶变换,得到频谱图,有两个通道,低频部分往往在频谱图的左上角
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将频谱图左上角低频部分转换到中心位置

height, width = img.shape
centerh, centerw = int(height/2), int(width/2)  # 获取图像中心位置

# 低通滤波器
mask = np.zeros((height, width, 2), np.uint8)
mask[centerh-30:centerh+30, centerw-30:centerw+30] = 1

# IDFT
fshift = dft_shift * mask  # dft_shift只保留了中心部分的低频信息
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)  # 将中心位置的低频转回到左上角
img_back = cv2.idft(f_ishift)  # 将频谱图还原成图像,此时的图像还无法展示,因为包含双通道(实部和虚部)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])  # 使得图像能够展示

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('source')
plt.imshow(img, 'gray')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('low frequency')
plt.imshow(img_back, 'gray')

plt.show()
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高通滤波器实现图像细节增强:

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# DFT
img = cv2.imread(r'F:/aixin.jpg', 0)  # img.dtype为uint8
img_float32 = np.float32(img)  # 将uint8格式的图像转换成float32格式
dft = cv2.dft(img_float32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里叶变换,得到频谱图,有两个通道,低频部分往往在频谱图的左上角
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将频谱图左上角低频部分转换到中心位置

height, width = img.shape
centerh, centerw = int(height/2), int(width/2)  # 获取图像中心位置

# 高通滤波器
mask = np.ones((height, width, 2), np.uint8)
mask[centerh-30:centerh+30, centerw-30:centerw+30] = 0

# IDFT
fshift = dft_shift * mask  # dft_shift只保留了中心部分的低频信息
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)  # 将中心位置的低频转回到左上角
img_back = cv2.idft(f_ishift)  # 将频谱图还原成图像,此时的图像还无法展示,因为包含双通道(实部和虚部)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])  # 使得图像能够展示

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title('source')
plt.imshow(img, 'gray')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title('high frequency')
plt.imshow(img_back, 'gray')

plt.show()
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