数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（五）_向量的秩和极大无关组的几何意义

第四章 向量组及向量空间的几何意义

4.1 向量组的几何意义

4.1.1 线性表示、组合及相关性的意义

  一个向量可以由另外一个或几个向量（向量组）用数乘之和的形式表示出来。$\stackrel{\rightharpoonup }{\beta }=x_1\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_1}+x_2\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_2}+\cdots +x_s\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_s}$
  线性组合或表示式实质上是向量的数乘和加法的综合。
  如果一个向量可以由一个向量组线性表示，我们就称这个向量和向量组线性相关。另外的说法就是，一个向量组里，只要由一个向量可以由其他向量线性表示，我们就称这个向量组线性相关。反之，如果向量组里的任意一个向量都不能由其他向量线性表示，我们就称这个向量组线性无关。
  在二维平面上：

• 如果两个向量线性相关，那么这两个向量必然在一条直线上。
• 不在一条直线上的任意两个向量一定线性无关。
• 在二维平面空间上，任意三个向量必然线性相关。

如果用不相关的三个三维向量构成一个三阶行列式，那么必然张成一个平行六面体，同时行列式的值不等于0.

4.1.2 向量组等价及秩的几何意义

向量组等价的几何解释

  两个向量组$A$和$B$的等价就是这两个向量组能够互相被线性表示。【或者说，如果把一个向量组中的任意一个向量拿出来放到另外一个向量组中，那么另外这个扩大的向量组就会线性相关，而且不论原向量是否线性相关】

向量的秩及极大无关向量组

  最大无关向量组的元素的个数就是等价向量组的秩。如果等价向量组最小只有一个向量，则等价向量组的秩等于1.

极大无关向量组：从原来的较长的向量组中挑出一部分向量组成了一个新的向量组，这个新的向量组在某种意义下可以代表原来的向量组（因为两者等价，可以互相表出）；同时这个新的向量组中很纯净，没有躲在别人后面滥竽充数的向量，多余的向量被剔出了，向量之 互相独立，个顶个，既不代表谁也不被代表（任一个向量都不能被其它向量线性表示）。

4.2 向量空间的几何意义

4.2.1 向量张成的空间

  一个向量组可以线性表示出一个空间里的所有向量，反过来讲，空间中的所有向量都可以分解为这个向量组的线性表示，那么这个空间我们就叫向量组张成的空间。

4.2.2 子空间的几何意义

如果$V$和$H$都是向量空间，而且$H\subset V$，则称$H$是$V$的子空间。

  任何一个子空间$H$都要包含0向量，否则就不能满足加法和数乘的封闭运算。

4.2.3 基、维数及其坐标的几何意义

基、维数、坐标的定义
  对于向量空间$V$中的一个有序向量组 { α 1 ⇀ , α 2 ⇀ , ⋯   , α n ⇀ } \{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\} {α1​⇀​,α2​⇀​,⋯,αn​⇀​}，若满足：

• $\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_1},\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_2},\cdots ,\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_n}$线性无关；
• $V$中任意一个向量$\stackrel{\rightharpoonup }{\alpha }$都可以由
  $\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_1},\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_2},\cdots ,\stackrel{\rightharpoonup }{{\alpha }_n}$线性表示。

  那么称向量组 { α 1 ⇀ , α 2 ⇀ , ⋯   , α n ⇀ } \{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\} {α1​⇀​,α2​⇀​,⋯,αn​⇀​}为向量空间$V$的一个基；称向量组 { α 1 ⇀ , α 2 ⇀ , ⋯   , α n ⇀ } \{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\} {α1​⇀​,α2​⇀​,⋯,αn​⇀​}的元素个数$n$为向量空间$V$的维数；称有序数组$(x_1,x_2,\cdots ,x_3$为向量在基 { α 1 ⇀ , α 2 ⇀ , ⋯   , α n ⇀ } \{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\} {α1​⇀​,α2​⇀​,⋯,αn​⇀​}上的坐标。
基的几何意义
  给一个向量空间找一个基，目的是为了给这个空间定一个坐标系。

4.2.4 基变换的几何意义

  线性空间的两个基是可以互相转换或变换的，变换的矩阵称为过渡矩阵。

4.2.5 标准正交基的几何解释

  标准正交基也叫规范正交基。
标准正交基的好处
  如果基是正交且标准的，就很容易计算向量子空间的投影和基坐标。用一个通用的向量表达式表示二维空间$R^2$上的标准正交基就是$(cos\theta ,sin\theta ),(-sin\theta ,cos\theta )$其中，$\theta$为基向量逆向旋转的角度。

4.2.6 施密正交化的几何解释

• 第一步正交化（向量减去投影分量得到正交分量）
• 第二步规范化

相关文章

数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（一）
数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（二）
数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（三）
数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（四）
数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（六）