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【线性代数】齐次与非齐次线性方程组有解的条件_齐次方程有非零解m=n
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齐次线性方程组 AX = 0 的解
A \bm{A} A 是 m × n m \times n m×n 矩阵，对其按列分块为 A = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] A = [\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n] A=[a1,a2,...,an]，则齐次线性方程组 A X = 0 \bm{AX} = \bm{0} AX=0 的向量表达式为：
x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 x_1\bm{a}_1 + x_2\bm{a}_2 + ... + x_n\bm{a}_n = \bm{0} x1a1+x2a2+...+xnan=0
该齐次方程组有非零解的充分必要条件是 a 1 , a 2 , . . . , a n \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n a1,a2,...,an线性相关，又因 r ( A ) = r { a 1 , a 2 , . . . , a n } r(A) = r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} r(A)=r{a1,a2,...,an}，所以有以下定理：
定理1：齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 r(A) < n，即r(A)小于A的列数。
定理1的等价描述：齐次线性方程组 AX = 0 只有零解的充分必要条件是 r(A) = n，即r(A)等于A的列数。
非齐次线性方程组 AX = b 的解
A \bm{A} A 是 m × n m \times n m×n 矩阵，对其按列分块为 A = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] A = [\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n] A=[a1,a2,...,an]，则非齐次线性方程组 A X = b \bm{AX} = \bm{b} AX=b 的向量表达式为：
x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = b x_1\bm{a}_1 + x_2\bm{a}_2 + ... + x_n\bm{a}_n = \bm{b} x1a1+x2a2+...+xnan=b
可以看出，该方程组有解的充分必要条件是 b \bm{b} b 可以由 a 1 , a 2 , . . . , a n \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n a1,a2,...,an 线性表示，这等价于
r { a 1 , a 2 , . . . , a n } = r { b , a 1 , a 2 , . . . , a n } r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} = r\{\bm{b}, \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} r{a1,a2,...,an}=r{b,a1,a2,...,an}
于是，可以得到以下定理：
定理2：设 A \bm{A} A 是 m × n m \times n m×n 矩阵， b \bm{b} b 是 m × 1 m \times 1 m×1 矩阵，则非齐次线性方程组 A X = b \bm{AX} = \bm{b} AX=b 有解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } r(A) = r\{\widetilde{A}\} r(A)=r{A }，这里 A ~ \widetilde{A} A 是该方程组的增广矩阵 [ A , b ] . [A, b]. [A,b].
另外，从方程组的向量表达式可以看出，其有唯一解的充分必要条件是 b \bm{b} b 可以由 a 1 , a 2 , . . . , a n \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n a1,a2,...,an 线性表示，且表示方式唯一。这不仅要求 a 1 , a 2 , . . . , a n {\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n} a1,a2,...,an 与 b , a 1 , a 2 , . . . , a n {\bm{b}, \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n} b,a1,a2,...,an 有相同的秩，还要求 a 1 , a 2 , . . . , a n {\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n} a1,a2,...,an线性无关，因此有以下定理：
定理3：设 A \bm{A} A 是 m × n m \times n m×n 矩阵， b \bm{b} b 是 m × 1 m \times 1 m×1 矩阵，则非齐次线性方程组 A X = b \bm{AX} = \bm{b} AX=b 有唯一解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } = n r(A) = r\{\widetilde{A}\} = n r(A)=r{A }=n，这里 A ~ = [ A , b ] . \widetilde{A} = [A, b]. A =[A,b].
定理3的等价命题： A X = b \bm{AX} = \bm{b} AX=b 有无穷多解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } < n r(A) = r\{\widetilde{A}\} < n r(A)=r{A }<n.
参考来源
- 线性代数. 杨刚，吴惠彬编. 北京：高等教育出版社，2007. 8
