隐马尔可夫模型学习笔记

马尔科链模型

• 一个系统有$N$个状态，随着时间的推移，系统从某一状态转移到另一个状态，设为时间t的状态，系统在时间t处于状态的概率取决于其在时间1，2，…，t-1的状态，概率为：
  

  $$P(q_t = S_j | q_{t-1}=S_i, q_{t-2}=S_k,..)$$

• 如果系统在时间$t$时刻的状态只与其在$t-1$时刻的状态有关，则该系统构成一个离散的一阶马尔科夫链（马尔科夫过程）：
  

  $$P(q_t=S_j | q_{t-1}=S_i,q_{t-2}=S_k,..)=P(q_t=S_j | q_{t-1}=S_i)$$

• 如果只考虑独立于时间t的随机过程：
  

  $$P(q_t=S_j | q_{t-1}=S_i)=a_{ij},1<=i,j<=N$$
  其中$a_{ij}$为转移概率，必须满足$a_{ij}>=0$，且$a_{ij}$的和为1。

例子

• 假设一段时间的气象可以用三种状态的马尔科夫模型$M$描述，S1：雨，S2：多云，S3：晴，状态转移矩阵为：
  

  $$A = [a_{ij}] = [0.4, 0.4, 0.3; 0.2, 0.6, 0.2;0.1, 0.1, 0.8]$$

• 如果第一天为晴天，根据这一模型，在今后七天中天气O=“晴晴雨雨晴云晴”的概率为：

$$\begin{equation} \begin{aligned} &P(O|M)\ &= P(S_3,S_3,S_3,S_1,S_1,S_3,S_2,S_3|M)\ &=P(S_3)\cdot P(S_3|S_3)\cdot P(S_3|S_3)\cdot P(S_1|S_3)\cdot P(S_1|S_1)\cdot P(S_3|S_1)\cdot P(S_2|S_3)\cdot P(S_3|S_2)\ &=1 \cdot a_{33}\cdot a_{33}\cdot a_{31}\cdot a_{11}\cdot a_{13}\cdot a_{32} \cdot a_{23} \ &=1.536\times10^{-4} \end{aligned} \end{equation}$$

隐马尔科夫模型（HMM）

• 在马尔科夫模型中，每一个状态表示一个可以观察的事件
• 在HMM中观察到的事件是状态的随机函数，因此该模型十一双重随机过程，其中状态转移过程是不可观察的（隐蔽）的（马尔科夫链），而可观察的时间的随机过程是隐蔽的状态转换过程的随机函数（一般随机过程）。

HMM的三个假设

对于一个随机事件，有一观察值序列：$O=O_1,O_2,...,O_TQ=q_1,q_2,...,q_T$。

• 假设1：马尔科夫性假设（状态构成一阶马尔科夫链）
• 假设2：不动性假设（状态与具体时间无关）
• 假设3：输出独立性假设（输出仅与当前的状态有关） $$P(O_1,...,O_T|q_1,...,q_T)= \prod P(O_t|q_t)$$

HMM定义

• 一个因马尔科夫模型（HMM）是有一个五元组描述的： $$\lambda =(N,M,A,B,\pi )$$

其中

• $N$：状态的有限集合
• $M$：观察值的有限集合
• $A$：状态转移概率矩阵
• $B$：观察值概率分布
• $\pi=｛\pi_i｝,\pi _i=P(q_1=s_i)$：初始状态分布

观察序列产生步骤

• 1.根据初始状态概率分布$\pi=\pi_i$，选择一初始状态
• 2.设$t=1$
• 3.根据状态Si的输出概率分布b_{jk}，输出$O_t=v_k$
• 4.根据状态转移概率分布，转移到新状态$q_{t+1}=S_j$
• 5.设$t=t+1$，如果$t<T$，重复步骤3、4，否则结束

HMM的三个基本问题

令为给定HMM的参数

• 令$O=O_1,...,O_T$为观察序列，则HMM的三个基本问题为：评估问题、解码问题、学习问题
• 评估问题：
  对于给定模型，求某个观察值序列的概率$P(O|\lambda)$;
• 解码问题：
  对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列$max_Q {P(Q|O,\lambda)}$;
• 学习问题：
  对于给定一个观察值序列$O$，调整参数$\lambda$，使得观察值出现的概率$P(O|\lambda)$。

三个基本问题的求解算法

• 评估问题：前向算法
  定义前向变量，采用动态规划算法，复杂度$O(N^2T)$
• 解码问题：韦特比算法
  采用动态规划算法，复杂度$O(N^2T)$
• 学习问题：向前向后算法
  EM算法是一个特例，带隐变量的最大似然估计

举个例子——天气与作习

举个常见的例子来引出下文，同时方便大家理解！比如我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，天气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，事情集合为{宅着，自习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B)和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么则有几个问题要问（注意，假设一天我那几件事情中的一件）。

• 1.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那么我这一周 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概率是多大？
• 2.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，不知道天气状态的情况下这个做事序列的概率是多大？
• 3.假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴天，那我们这一周最有可能的做事序列是什么？
• 4.假如我这一周做事序列是 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习，那么这一周的天气变化序列最有可能是什么？

参考网址：
http://blog.csdn.net/stdcoutzyx/article/details/8522078
http://wenku.baidu.com/link?url=mgefnHLJRHgX6zghIcnZPIU0KCW5A-R9BsSnwvvbTXwMuKrn5caBCOv860O1ICAUpdGtgElY5d6BcybY1mBfRCks2rKEz9dr9eIiP-s7HMm