【数据结构】红黑树_红黑树定义

目录

一、红黑树的概念

二、红黑树的操作

1、红黑树的定义

2、红黑树的插入

2.1、cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

2.2、cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

2.3、cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（变种）

3、红黑树的验证

3.1、检测一 

3.2、检测二

三、红黑树的性能

四、附完整代码

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 本篇文章以前一篇文章《AVL树》为基础， 在阅读本篇文章之前，需要具备该文章中所讲解的旋转等知识。

一、红黑树的概念

 红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是 Red 或 Black 。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质如下：

1. 每个节点不是红色就是黑色。
2. 根节点是黑色的。
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的。
4. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。
5. 每个叶子节点都是黑色的(此处的叶子节点指的是空节点)。

 红黑树的性质决定了，路径中不可能出现连续的红色节点，且每条路径上都有相同数量的黑色节点。

 所以红黑树中最短路径是全部都由黑色节点组成的路径，最长的路径是由红黑节点交替组成的路径。假设全部的黑色节点有 N 个，那么最短路径长度为 logN ，整棵树的节点数量在 N ~ 2N 之间，所以最长路径长度为 2logN 。

二、红黑树的操作

1、红黑树的定义

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};
 
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;
 
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};
 
template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
 
public:
    bool Insert(const pair<K, V>& kv);
private:
	Node* _root = nullptr;
};

 红黑树节点的结构体中多了一个表示颜色的枚举。需要注意的是，在红黑树节点的拷贝构造中，对于颜色的默认值给的是 RED 。

 这是因为如果新插入的节点是黑色的，那么一定会违反红黑树的性质 4 ，即导致每条路径上的黑色节点不一致。而如果插入的节点是红色的，则不一定会使红黑树违反性质 3 ，只有在新插入的红色节点的父亲也是红色节点时，才需要进行改动。

2、红黑树的插入

 红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

 因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整。但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

2.1、cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

 cur和p均为红，违反了性质三。解决方式：将p、u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

实现代码：

while (parent && parent->_col == RED)
{
	Node* grandfather = parent->_parent;
    //情况一
	if (grandfather->_left == parent)
	{
		Node* uncle = grandfather->_right;
        //情况1：u存在且为红，变色处理，并继续网上处理
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = BLACK;
			uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
 
			//继续向上调整
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		//...
	}
    //...
}

2.2、cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

 情况2一定是由 2.1 的情况变换过来，并继续向上更新的，否则插入前的状态就不符合红黑树。其演变过程：

此时 c 子树一定包含一个黑节点，d、e子树只能是一个红节点。

 解决方式：

• p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转
• p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
• p、g变色--p变黑，g变红

2.3、cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（变种）

 解决方法：

• p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转
• p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转

此时，情况三变为了情况二，再使用 2.2 的方法就可以。 

 实现代码：

while (parent && parent->_col == RED)
{
	Node* grandfather = parent->_parent;
	if (grandfather->_left == parent)
	{
		Node* uncle = grandfather->_right;
		// u存在且为红，变色处理，并继续网上处理
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = BLACK;
			uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
 
			//继续向上调整
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		else //情况2与情况3：u不存在或者为黑，旋转+变色
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				RotateR(grandfather);
				parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
			}
			else
			{
				RotateL(parent);
				RotateR(grandfather);
				cur->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
			}
			break;
		}
	}
	else
	{
		Node* uncle = grandfather->_left;
		// u存在且为红，变色处理，并继续网上处理
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = BLACK;
			uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
 
			//继续向上调整
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		else //情况2与情况3：u不存在或者为黑，旋转+变色
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				RotateL(grandfather);
				parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
			}
			else
			{
				RotateR(parent);
				RotateL(grandfather);
				cur->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
			}
			break;
		}
	}
}

3、红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

3.1、检测一 

 编写测试代码：

 

 观察到该树满足二叉搜索树。

3.2、检测二

根据红黑树的性质编写代码：

bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark)
{
	if (root == nullptr)
	{
		//cout << blackNum << endl;
		if (benchmark != blackNum)
		{
			cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
 
	if (root->_col == BLACK)
	{
		++blackNum;
	}
 
	if (root->_col == RED
		&& root->_parent
		&& root->_parent->_col == RED)
	{
		cout << "存在连续的红色节点" << endl;
		return false;
	}
 
	return _Check(root->_left, blackNum)
		&& _Check(root->_right, blackNum);
}
 
bool isBalance()
{
	if (_root && _root->_col == RED)
	{
		cout << "根节点的颜色是红色" << endl;
		return false;
	}
 
	int benchmark = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
			++benchmark;
		cur = cur->_left;
	}
 
	//是否有连续红色节点，黑色节点数量是否都相同
	_Check(_root, 0, benchmark);
}

 

 观察到满足红黑树的性质。

三、红黑树的性能

 红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O(log N) ，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

四、附完整代码

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};
 
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;
 
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};
 
template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
 
public:
	~RBTree()
	{
		_Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
 
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
 
		return nullptr;
	}
 
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
 
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
 
		cur = new Node(kv);
		//默认新创建的节点是红色的
 
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
 
		//判断节点的颜色是否违反了规则
		
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				// u存在且为红，变色处理，并继续网上处理
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					
					//继续向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else //情况2与情况3：u不存在或者为黑，旋转+变色
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				// u存在且为红，变色处理，并继续网上处理
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = BLACK;
					uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
 
					//继续向上调整
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else //情况2与情况3：u不存在或者为黑，旋转+变色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
 
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
 
	bool isBalance()
	{
		if (_root && _root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点的颜色是红色" << endl;
			return false;
		}
 
		int benchmark = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
				++benchmark;
			cur = cur->_left;
		}
 
		//是否有连续红色节点，黑色节点数量是否都相同
		_Check(_root, 0, benchmark);
	}
 
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
 
private:
	void _Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
 
		_Destroy(root->_left);
		_Destroy(root->_right);
		delete root;
	}
 
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;
 
		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);
 
		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
	}
 
	bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			//cout << blackNum << endl;
			if (benchmark != blackNum)
			{
				cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
 
		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;
		}
 
		if (root->_col == RED 
			&& root->_parent 
			&& root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}
 
		return _Check(root->_left, blackNum, benchmark)
			&& _Check(root->_right, blackNum, benchmark);
	}
 
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
 
		Node* ppnode = parent->_parent;
 
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
 
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}
	}
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
 
		Node* ppnode = parent->_parent;
 
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
 
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}
	}
 
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
 
private:
	Node* _root = nullptr;
};

---

关于红黑树的相关内容就讲到这里，希望同学们多多支持，如果有不对的地方欢迎大佬指正，谢谢！