机器学习--线性回归模型原理

线性回归, 是回归分析中的一种, 其表示自变量与因变量之间存在线性关系. 回归分析是从数据出发, 考察变量之间的数量关系, 并通过一定的数学关系式将这种关系描述出来, 再通过关系式来估计某个变量的取值, 同时给出该估计的可靠程度. 下面我们从一元线性回归开始说起.

1. 一元线性回归

在回归分析中如果只涉及一个自变量(用来预测的变量)和一个因变量(要预测的变量), 这时就称为一元回归, 如果自变量与因变量之间存在线性关系, 那么此时的回归就称为一元线性回归.

1.1 模型

假设自变量x和因变量y存在线性关系, 那么x和y的线性关系函数可以表示为:

由于该函数是假设x和y存在线性关系, 因此该函数可以称为假设函数. 我们把描述因变量y和自变量x关系的函数称为回归模型, 故该函数又称一元线性回归模型.其中和称为模型参数, 不同的参数将会构造不同的模型, 因此构建模型的关键之处在于选择参数, 怎么样才能算好的参数呢?

由于我们构建模型的最终目的是用来预测, 因此好参数构建的模型应该具备很好的预测能力, 也就是说预测值和实际值差异很小, 我们把预测值h(x)与实际值y之间的差异称为误差. 对于某个值来说误差就是h(xⁱ)-yⁱ, 对于整个模型来说, 则是对所有误差进行求和, 但由于误差中有正负之分, 因此会产生误差相互抵消, 为了避免存在这种抵消问题, 对误差进行平方求和, 再对其求平均, 故有平均误差平方和, 其表示为

其中, m是样本量. h(x⁽ⁱ⁾)表示第i个预测值, 与之对应的实际值则是y⁽ⁱ⁾.

这种误差可以认为是实际值或者期望值的损失, 故该误差函数可以称为损失函数(有时也称为代价函数). 我们可以根据损失函数数值最小来选出最优模型(很好的预测能力).

1.2. 算法

这里我将介绍两种基于损失函数最小的算法: 梯度下降法和最小二乘法.

1. 梯度下降法

什么是梯度? 引出百度百科定义:

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

在单个自变量函数曲线中