【刷题】图论——最短路：Dijkstra【证明+模板】_dijkstra最短路模板

Dijkstra是处理单源最短路的算法，要求边权为正。

1、朴素Dijkstra O(n^2)

1.1、算法步骤

假设起点是st；已经确定到st最短距离的点在集合S中

1. $dis[st]=0,(i\ne s)dis[i]=+\infty$
2. for(i = 0; i < n; i ++ )
   2.1. 不在S中，距离st最近的点x
   2.2. x放入S
   2.3. 用x更新它连的所有点y（松弛操作）：
   if(dis[y] > dis[x] + w(x, j)) dis[j] = dis[x] + w(x, y)

第二步循环内每次都能确定一个点x的最短距离，重复n次就能确定所有点的最短距离。

以算法导论的图为例：

a. 初始化dis[s]=0
b. 到s最近的就是s本身，更新s连的y和t， S = { s } S=\{s\} S={s}
c. 到s最近的是y（$y:5<t:10<x:\infty =z:\infty$），更新y连的t、x、z， S = { s , y } S=\{s,y\} S={s,y}
d. 到s最近的是z（$z:7<t:8<x:14$），更新z连的x， S = { s , y , z } S=\{s,y,z\} S={s,y,z}
e. 到s最近的是t（$t:8<x:13$），更新t连的x， S = { s , y , z , t } S=\{s,y,z,t\} S={s,y,z,t}
f. 到s最近的是x（只剩x了），结束。

1.2、算法证明

粗略证明

0. 证明目标：每个进S的点由算法得到的距离都是实际最短路的距离。
1. 如果某个点（下图中的u）由算法得到的答案不是最短路，那在理论最短路径中，u肯定是连在“比u晚进S的点”（下图中的y）后面。
   1.1. 因为如果是连在"比u先进入S的点"（下图中的x）后面，由归纳得x是最短路，x能松弛到u，算法得到得答案也是理论最短路径，矛盾。
2. 而路径中y在u前面，边权又都是正的，算法是挑近的进S，y肯定会比u更早进S，矛盾。
3. 因此不存在u，进S的点由算法得到的距离就是实际最短路的值。

严格证明（参考算法导论）

假设u之前的点，有性质：对于所有加入S的点，在这个点加入S时，根据算法的步骤所确定的st到这个点的距离，都是最短路。

记：根据算法的步骤所确定的$st$到点$i$的距离 = $dis[i]$；$st$到点$i$的实际最短路=$ans[i]$

那么性质可简写为：对于所有加入S的点$i$，在$i$加入S时，都有$dis[i]=ans[i]$。

命题如下：点$u$加入S时，$u$是第一个使这个性质不成立的点，即$dis[u]\ne ans[u]$

利用反证法证明不存在这样的点$u$：

1. $u$和$st$不同：因为$st$是第一个进入集合$S$的结点，$dis[st]=0$，是最短路，性质成立。
2. 此时$S$不是空集：$u$加进来时至少有点$st$
3. 此时已经存在某条从$st$到$u$的路径：算法每次都是找距离$st$最近的点，如果不存在$st$到$u$的路径，那么$dis[u]=\infty$，$u$不可能被加进来。
4. 不妨设目前所有$st$到$u$的路径中，最短的路径是 st —p₁—> x —> y —p₂—> u，$x$是$y$的前一个点，$y$是第一个不属于$S$的点，因此$x$在$S$中。
   ps. (p₁和p₂可能不包含任何边，可能$st=x$或$y=u$，但$x$和$y$不同，p₂可能重新进入$S$)
5. $dis[x]=ans[x]$：因为$u$是第一个使这个性质不成立的点，而$x$在$u$之前且已经进入$S$中，$x$满足性质。
6. $dis[y]=ans[y]$：点$x$进入$S$时，进行松弛更新了$y$，得到了$dis[y]$。
   而$y$在$st$—>$u$的最短路上，如果还存在其他st—p₃—>y的最短路，那么st —p₃—> y —p₂—> u，才是st—>u的最短路，这和第4步的假设矛盾。
   因此st —p₁—> x —> y就是st—>y的最短路径。（最短路径的子路径也是最短路径）
7. $ans[y]\le ans[u]$：因为$y$在$u$之前，且所有路径都是正的。
8. $ans[u]\le dis[u]$：算法估计的最短路只可能比真实的最短路长。（上界性质）
9. $dis[u]\le dis[y]$：u和y都不在S中，而算法每次都会从不在S中的点里面挑距离$st$最近的，也就是dis更小的，而此时$u$正准备进$S$，而$y$是在之后才进$S$。因此$dis[u]\le dis[y]$。
10. 根据第7、8、9步，我们得到$ans[y]\le ans[u]\le dis[u]\le dis[y]$
    由根据第6步的 $dis[y]=ans[y]$，有$ans[y]=ans[u]=dis[u]=dis[y]$
    可以看到$ans[u]=dis[u]$和命题矛盾
11. 综上不存在这样的点$u$，因此算法所求的所有点都满足性质，即进入S的点所确定的距离都是最短路。

1.3、算法实现

题目链接
这题70%的数据1≤n≤1000，n较小可采用邻接矩阵，对于n较大可采用邻接链表。
遇到重边时，采用邻接矩阵需要取最小的边，采用邻接链表则不需要考虑。

// 邻接矩阵
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1005;

int n, m, dis[N], st;
int g[N][N]; 
bool flag[N]; // 该点最短路是否已经被确定（进入集合S） 

void dijkstra() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(flag, 0, sizeof flag);
	dis[st] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
		int x = -1; // 没确定最短路中离起点最近的点 
		for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
			if (!flag[j] && (x == -1 || dis[x] > dis[j])) x = j;
		}
			
		flag[x] = true;
		
		for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
			dis[j] = min(dis[j], dis[x] + g[x][j]);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &st);
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	while(m -- ) {
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		g[u][v] = min(g[u][v], w); // 重边取最小的边 
	}
	
	dijkstra();
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		if (dis[i] == 0x3f3f3f3f) printf("2147483647 ");
		else printf("%d ", dis[i]);
	}
	return 0; 
} 
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2、堆优化Dijkstra O(mlogn)

当n较大时，如1≤n≤100000，那么$O(n^2)$的算法将会超时，需要用邻接链表+堆优化。
回顾Dijkstra的流程：

1. $dis[st]=0,(i\ne s)dis[i]=+\infty$
2. for(i = 0; i < n; i ++ )
   2.1. 不在S中，距离st最近的点x
   2.2. 用x更新它连的所有点y（松弛操作）：
   if(dis[y] > dis[x] + w(x, j)) dis[j] = dis[x] + w(x, y)
   2.3. x放入S

其中2.1可以采用小根堆维护$dis[i]$，直接挑出距离$st$最近的点，而不需要遍历所有点。
这样2.1的时间就变成$O(1)$，但是堆的修改操作时间复杂度是$O(logn)$，整个算法至多需要修改$m$条边（松弛会用到每个点的所有边，所有点都要进行松弛操作）。
直到堆为空停止，而不是采用for循环。
因此时间复杂度是$O(mlogn)$

注意如果用STL的优先队列，由于无法修改元素，只能往里面插新的元素，因此时间复杂度可能变成$O(mlogm)$，但是$m\le n^2$，$logm\le 2logn$，因此$O(mlogm)$等价于$O(mlogn)$

题目链接

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue> 
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100005;
const int M = 500005;

int n, m, dis[N], st;
int head[N], nxt[M], lnk[M], val[M], idx; 
bool flag[N]; // 该点最短路是否已经被确定（进入集合S） 

void add(int u, int v, int w) {
	lnk[idx] = v;
	val[idx] = w;
	nxt[idx] = head[u];
	head[u] = idx ++ ;
} 

void dijkstra() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(flag, 0, sizeof flag);
	
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > heap; // 小根堆，存{dis[x], 结点x} 
	heap.push({0, st}); // 堆默认用pair的first排序 
	dis[st] = 0;
	while (heap.size()) {
		auto t = heap.top();
		heap.pop();
		int x = t.second;
		if (flag[x]) continue;
		flag[x] = true; 
		for (int i = head[x]; i != -1; i = nxt[i]) {
			int y = lnk[i];
			int w = val[i];
			if (dis[y] > dis[x] + w) {
				dis[y] = dis[x] + w;
				heap.push({dis[y], y});
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &st);
	memset(head, -1, sizeof head);
	while(m -- ) {
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		add(u, v, w);
	}
	dijkstra();
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		if (dis[i] == 0x3f3f3f3f) printf("2147483647 ");
		else printf("%d ", dis[i]);
	}
	return 0; 
} 
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