考研数学二复习笔记-高等数学-第二章 一元函数微分学

1.导数和微分

求导

使用导数的定义
$f^{\prime }(x)={\lim }_{x\to x0}\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}或者f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x0+\Delta x)-f(x0)}{\Delta x}$

结论:
(1)${\lim }_{x\to x0}\frac{f(x)+B}{x-x0}=A且f(x)在x0处连续,可以推导出{\lim }_{x\to x0}f(x)=-B和f^{\prime }(x0)=A$
$(2)f(x)=|x-x0|g(x)且g(x)在x0处连续,f^{\prime }(x)在x0处可到\leftrightharpoons g(x0)=0$

注意点:
f(x)在x=a的某个邻域有定义,求f(x)在x=a处可导的充要条件是什么?

(1)${\lim }_{x\to +\infty }x[f(a+\frac{1}{x})-f(a)]存在$ 不能推出:只能说明存在右导数
(2)${\lim }_{n\to \infty }x[f(a+\frac{1}{n})-f(a)]存在$ 不能推出:n代表的是数列极限,也就是说n是正数,还是只能说明有右导数
(3)${\lim }_{x\to 0}\frac{f(a+x)-f(a-x)}{2x}存在$ 不能推出:虽然可以凑成两个导数定义的形式,但是可能a点是个分段点,也就不连续,更不可能有导数。

微分

现阶段可认为dx=Δx。dy=f'(x)dx
1.微分定义:Δy=AΔx+o(Δx),其中A与Δx无关
dy=AΔx
Δy-dy是Δx的高阶无穷小
(1)f’(x)>0且f’'(x)>0情况。此时Δy-dy>0

(2)f’(x)>0且f’'(x)<0情况。此时Δy-dy<0

可导⇋可微

2.导数和微分计算

导数公式

(1)$(C{)}^{\prime }=0$
(2)$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$
(3)$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$
(4)$(e^x{)}^{\prime }=e^X$
(5)(log_ax)${}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$
(6)$(ln|x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
(7)$(sinx{)}^{\prime }=cosx$
(8)$(cosx{)}^{\prime }=-sinx$
(9)$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$
(10)$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$
(11)$(secx{)}^{\prime }=secxtanx$
(12)$(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$
(13)$(arcsin{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$
(14)$(arccox{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}$
(15)$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
(16)$(arccot{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

长多项式求导

例如:
f(x)=(x-1)(x-2)…(x-50),则f’(1)=?
可以观察到x=1时x-1=0；可以将(x-2)(x-3)…(x-50)=g(x)
令f(x)=(x-1)g(x)
f’(x)=[(x-1)‘]g(x)+(x-1)g’(x)
带入1后只剩下g(x)部分了。
g(x)=(-1)(-2)…(-49)=-49!

反函数求导

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
反函数二阶导:$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{d(\frac{dx}{dy})}{dy}=\frac{d(\frac{1}{f^{\prime }(x)})}{dy}=\frac{d(\frac{1}{f^{\prime }(x)})/dx}{dy/dx}=\frac{f^{\prime \prime }(x)}{-[f^{\prime }(x){]}^3}$

隐函数求导

1.直接法(求具体函数某个点使用更容易)
直接对x和y求导,将y看作x的函数

2.公式法
将x和y全部移到等式的一边,分别求x和y的导,将y看作x的函数
F(x,y)=0;
F’_x+$\frac{dy}{dx}$F’_y=0;
$\frac{dy}{dx}=-\frac{F^{\prime }x}{F^{\prime }y}$

3.全微分

求导技巧

$y=f(x{)}^{g(x)}$
1.对数法求导
lny = g(x)ln f(x)
求导:$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=g^{\prime }(x)lnf(x)+g(x)\frac{1}{f(x)}{f}^{\prime }(x)$

2.幂指转换
$y=e^{g(x)lnf(x)}$
再用复合函数求导法则

参数方程求导

x=x(t)
y=y(t)
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
二阶导
$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}}{dx}=\frac{\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}/dt}{dx/dt}=\frac{y^{\prime \prime }(t)x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)}{[x^{\prime }(t){]}^3}$

结论

(1)奇函数导数为偶函数
(2)偶函数导数为奇函数
(3)周期函数的导数还是相同周期的周期函数

高阶求导数

1.泰勒展开式(麦克劳林)
在x=0处的展开式
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)x^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime }(0)x^3}{3!}+...\frac{f^{\prime \prime }(0)x^n}{n!}$
$f(x)=a0+a1\ast x+a2\ast x+...an\ast x$
求n阶导就是$f^{(n)}=an\ast n!$

2.莱布尼茨公式
$[u(x)v(x){]}^{(n)}={\sum }_{i=0}^{n}C(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})u^{(n-i)}(x)\ast v^{(i)}(x)$

3.中值定理，不等式与零点问题

中值定理:

1.费马引理:
f(x)在x₀的邻域有定义,且f’(x₀)是极值,f’(x₀)=0；

证明:(以极大值为例)

2.罗尔定理:
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)。至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=0。
证明:


证明存在一个点 { ( 1 ) 无导数 : 辅助函数无积分 ( 2 ) 有导数 : 涉及积分考虑罗尔定理 { ( 1 ) 直接分析 ( 可以直接看出原函数 ) ( 2 ) 使用微分方程求解原函数 证明存在一个点

$$\begin{cases} (1)无导数:辅助函数无积分 \\ (2)有导数:涉及积分考虑罗尔定理 \begin{cases}(1)直接分析(可以直接看出原函数)\\ (2)使用微分方程求解原函数 \end{cases}$$ \end{cases} 证明存在一个点⎩ ⎨ ⎧​(1)无导数:辅助函数无积分(2)有导数:涉及积分考虑罗尔定理{(1)直接分析(可以直接看出原函数)(2)使用微分方程求解原函数​​

{ ①将 ξ 改成 x ②将 y ′ 移到一边 , 复合函数放一边 ③解微分方程得到 c = g ( x , y ) ④ y = f ( x ) 令 F ( x ) = f ( x , f ( x ) )

$$\begin{cases}①将ξ改成x \\ ②将y'移到一边,复合函数放一边 \\ ③解微分方程得到c=g(x,y) \\ ④y=f(x) 令F(x)=f(x,f(x)) \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​①将ξ改成x②将y′移到一边,复合函数放一边③解微分方程得到c=g(x,y)④y=f(x)令F(x)=f(x,f(x))​

例题以及证明

设方程参考

推广结论:$f^{(n)}(x)有k个零点,说明f(x)最多n+k个零点。$

3.拉格朗日中值定理:
f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,至少存在一点ξ∈(a,b)使得$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$ ξ∈(a,b)
证明:

4.柯西中值定理:
f(x)和g(x)在闭区间[a,b]连续,在(a,b)可导,g’(0)不为0,至少存在一点ξ∈(a,b)使得
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
证明:

当证明题中出现两个函数,需要考虑柯西中值定理!!!

不等式证明:

基本不等式:
$sin<x<tanx$     $x\in (0,\frac{\pi }{2})$
$e^x\ge x+1$    $x\in r,等于在x=0处成立$
$x\ge ln(x+1)\ge \frac{1}{1+x}$      x≥-1成立,x=0取等号
$arctanx<x<arcsinx$         0<x<1

零点定理:

不涉及积分的题目用零点定理,
涉及积分就用罗尔定理

4.导数应用

极值:

• 极值应该满足一阶导为0,二阶导不为0
• 驻点是二阶导为0的点

极值第一充分条件:邻域左右导数异号
极值第二充分条件:一阶导为0,二阶导不为0

拐点:

拐点第一必要条件:若x=x0处为拐点,则f’'(x0)=0
拐点第一充分条件:邻域二阶导左右异号
拐点第二充分条件:二阶导为0.三阶导不为0
拐点第三充分条件:$f^{\prime }(x0)=f^{\prime \prime }(x0)=...=f^{(n-1)}(x0)=0,f^{(n)}(x0)!=0,且n为大于二的偶数$
{ ( 1 ) f ( n ) ( x 0 ) > 0 时 f ( x 0 ) 为极小值 ( 2 ) f ( n ) ( x 0 ) < 0 时 f ( x 0 ) 为极大值

$$\begin{cases}(1)f^{(n)}(x0)>0时f(x0)为极小值\\ (2)f^{(n)}(x0)<0时f(x0)为极大值 \end{cases}$$ {(1)f(n)(x0)>0时f(x0)为极小值(2)f(n)(x0)<0时f(x0)为极大值​

渐近线:

斜渐近线和水平渐近线不能共存!!! !!!
水平渐近线:
如果x趋于无穷处极限是一个常数A，存在y=A这个水平渐近线。
垂直渐近线:
如果间断点x0处的左极限或右极限为无穷,存在垂直x=x0渐近线
斜渐近线:
x趋于无穷处$\frac{f(x)}{x}=a且f(x)-ax=b，则y=ax+b是斜渐近线$(正负无穷都要判断)

弧微分和曲率:

y=f(x),在f(x)有连续导数。存在弧微分$ds=\sqrt[]{1+y^{\prime }}dx$

y=f(x)有二阶导,有曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime }2{)}^{\frac{3}{2}}},\rho =\frac{1}{k}$,结论:【1.曲线和圆有公共切线.2.曲线和圆有相同的y,y’,y’’ 3.L和C相同切线和曲率】