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线性SVM，线性可分SVM与核函数_svm线性核函数

作者：很楠不爱3 | 2024-03-23 06:14:08

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svm线性核函数

SVM即支持向量机（support vector machine），是一种分类算法。SVM 适合中小型数据样本、非线性、高维的分类问题。它将实例的特征向量映射为空间中的一些点。如：

而SVM要做的事情就是找到那么一条线， “最好地” 区分这两类点，以后有了新的点，这条线也能做出很好的分类。划分的线是可以有无数条的。

那么哪一条线是最好的呢。SVM 将会寻找可以区分两个类别并且能使间隔（margin or gap）最大的划分超平面。比较好的划分超平面，样本局部扰动时对它的影响最小、产生的分类结果最鲁棒、对未见示例的泛化能力最强。

对于任意一个超平面，其两侧数据点都距离它有一个最小距离（垂直距离），这两个最小距离的和就是间隔。比如下图中两条虚线构成的带状区域就是 gap，虚线是由距离中央实线最近的两个点所确定出来的（也就是由支持向量决定）。

从上图可以看出，虚线上的点到划分超平面的距离都是一样的，实际上只有这几个点共同确定了超平面的位置，因此被称作 “支持向量（support vectors）”，“支持向量机” 也是由此来的。

线性SVM

对于这个划分的超平面，我们可以给一个方程：

$\omega ^{T}X+b=0$

其中 $\omega$ 为各个特征的权值。为列向量。b为位移值。

点 $x_{i}$ 到面的距离为

$\frac{\omega ^{T} \cdot x_{i}+b}{\left \| \omega \right \|}$

那么很明显有

$\frac{\omega ^{T} \cdot x_{i}+b}{\left \| \omega \right \|}*y_{i}\geqslant d$

$y_{i}$ 为样本i的预测值（-1或者1，做符号变换）。d为支撑向量到超平面的距离。我们假设d为 $\frac{2}{\left \| \omega \right \|}$

使得所有的的点满足

$y_{i}(\omega ^{T} \cdot x_{i}+b)\geqslant 1$

我们所需要的超平面则是需要最大化最小间隔，即：

$argmax_{w,b}\left \{ \frac{1}{\left \| \omega \right \|}min_{i}[y_{i}(\omega ^{T} \cdot x_{i}+b)]\right \}$

带入上面的式子，则需要求：

$argmax_{w,b} \frac{1}{\left \| \omega \right \|}$

我们转换下则求：

$min_{w,b} \frac{1}{2}\left \| \omega \right \|^{2}$

与约束条件

$y_{i}(\omega ^{T} \cdot x_{i}+b)\geqslant 1$

我们这里就可以运用拉格朗日乘子法得：

$L(\omega ,b,\alpha )=\frac{1}{2}\left \| \omega \right \|^{2}-\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}(y_{i}(\omega ^{T} \cdot x_{i}+b)-1)$

原问题是极小极大问题

$min_{\omega ,b}max_{\alpha }L(\omega ,b,\alpha )$

原始问题的对偶问题，是极大极小问题

$max_{\alpha }min_{\omega ,b}L(\omega ,b,\alpha )$

将其对于 $\omega ,b$ 求偏导冰等于0得：

$\omega =\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}y_{i}x_{n}$

$\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}y_{i}=0$

带入L得

$L(\omega ,b,\alpha )=\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\alpha _{j}y_{i}y_{j}x_{i}x_{j}$

与约束

$\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}y_{i}=0$

$\alpha _{i}\geqslant 0 ,i=1,2...n$

接下来求对于α的极大,添加负号即求

$min\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}\alpha _{j}y_{i}y_{j}x_{i}x_{j}-\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}$

继续带入拉格朗日乘子得最后的

$\omega^{*} =\sum_{i=1}^{N}\alpha _{i}^{*}y_{i}x_{i}$

$b^{*} =y_{i}-\sum_{i=1}^{N}\alpha _{i}^{*}y_{i}x_{i}x_{j}$

求出最后的超平面。

线性可分SVM

线性svm可以保证在训练集上分类完全正确，但是不一定分类完全正确的超平面就是最好的

一种是样本数据本身线性不可分

另一种是下图这种情况，实线是线性svm分的超平面，可是我们还是感觉虚线可能分的更好，因为上面那个点很有可能是噪音点。

我们的处理方法是增加松弛因子 $\varepsilon _{i}$ ≥0，使函数间隔加上松弛变量大于等于1。这样，约束条件变成
$y_{i}(\omega ^{T} \cdot x_{i}+b)\geqslant 1-\varepsilon _{i}$
目标函数:

$min_{w,b} \frac{1}{2}\left \| \omega \right \|^{2}+C\sum_{i=1}^{N}\varepsilon _{i}$

C为可以调整的超参数，当无限接近与无穷大时，就等于线性svm

这时候拉格朗日函数为

求偏导得

带入式子中得到：

然后求对于α的极大值

构造对偶问题，解约束最优化：

最后得到超平面：

要注意的是:计算b*时，需要使用满足条件0<α

实践中往往取支持向量的所有值取平均作为b* 。

SVM的损失函数为Hinge loss

$\left\{\begin{matrix} y=-x+1, x<1 \\ y=0, x\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

意义则为，点相对于超平面的距离，大于1则没有损失，小于1则小多少损失多少（支撑向量到超平面的距离为1）

核函数

还有很多情况是样本点无法被直线分，即使使用松弛因子效果也很差。这个时候我们便选择使用核函数，核函数的作用是将原本线性不可分的样本映射到一个高维空间内。从而在核空间可分。

因为最后求超平面的时候我们使用的是两个向量的内积，所以核函数即为定义两个向量的内积。常用的核函数有

多项式核函数： $\kappa (x_{1},x_{2})=(x_{1}\cdot x_{2}+c)^{d}$

高斯核函数： $\kappa (x_{1},x_{2})=exp(-\gamma \left \| x_{1}- x_{2} \right \|^{2})$

Sigmod核函数： $\kappa (x_{1},x_{2})=tanh(x_{1}\cdot x_{2}+c)$

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