分步图解平衡二叉树的插入过程（Python实现）_平衡二叉树python

一、基本概念：

平衡二叉树：是一种特殊的二叉排序树，它或者为空树，或者每个结点的左右子树都是平衡二叉树，也就是每个结点的左右子树的高度之差只能是-1,0,1三种情况。

平衡二叉树又称AVL树，是由苏联的Georgy Adelson-Velsky和E.M.Landis发明的，并以他们的名字命名。与之类似的还有红黑树、B树等。

平衡二叉树的平衡状况由平衡因子(Balance Factor,BF)来衡量。平衡因子定义为当前结点的左子树高度减去右子树的高度之差，其可能取值只有-1,0,1。叶结点的BF都是0。如果能维持平衡二叉树的结构，检索操作就能在O(log n)时间内完成。

最小不平衡子树：距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。（不平衡即失衡，指BF超出合法值）

最小非平衡子树：包含插入结点位置，其根结点的BF是1或-1的最小子树。（非平衡指BF非0，但BF在合法值范围内）

（此处这两个概念如有错误，欢迎指正）

在下图中，原来结点4的BF=1，插入结点3后，结点4的BF=2。结点4是距离插入结点3最近的且BF绝对值大于1的结点，所以以结点4为根的子树就是最小不平衡子树。

二、插入操作的不同情况

1、如果在查找插入位置的过程中，所有途经结点的BF值均为0，那么插入新的结点后，不会导致这些途经结点失衡，只会让它们的BF值从0变为1或者-1。

如下图所示，插入结点3，查找时途经结点为5,4和2，其BF只是从原来的0都变为了1或-1，整棵树仍然是平衡的。

2、如下图，插入结点4.7。左图中最小非平衡子树以结点4为根结点a，结点4.7被插入到这棵子树较低的子树中，此时这棵子树还是平衡的，只需要修改这棵子树的从根结点直至插入结点路径上所有结点的BF值。

以上两种情况都不需要调整树的结构

3、需要调整树结构的情况又分为了四种情况：

（1）LL型调整：a的左子树较高，新结点插入在a的左子树的左子树。进行右旋转。

在下图的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0（否则a就不是最小非平衡子树的根了）。结点2被插入到了a的左子树的左子树，需要进行LL型调整：将结点2-3-4-5-8看做一条可以转动的链子，将其向右旋转（顺时针）一个结点，然后将原来b结点的右子树，接到a结点的左子结点上，调整完成。

再说明一下插入结点的位置：插入结点不必像上图一样，必须插在某个结点的左子结点，也可以像下图一样，插在某个结点的右子结点，调整的方法还是一样的。这也是定义中说：新结点插入在a的左子树的‘左子树’，而不是左子树的左子结点的原因。

@staticmethod    
    def LL(a, b):
        a.left = b.right # 将b的右子树接到a的左子结点上
        b.right = a #将a树接到b的右子结点上
        a.bf = b.bf = 0 #调整a、b的bf值。
        return b

 

（2）RR型调整：a的右子树较高，新结点插入在a的右子树的右子树。进行左旋转。

 

RR型调整与LL型正好是对称的，操作步骤类似。在下图的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0。结点9被插入到了a的右子树的右子树，需要进行RR型调整：同样地，将结点4-5-6-8-9看做一条可以转动的链子，将其向左旋转（逆时针）一个结点，然后将原来b结点的左子树，接到a结点的右子结点上，调整完成。

同样地，插入结点也可以插入在结点8的左子结点处，调整步骤是一样的。

@staticmethod 
    def RR(a, b):
        a.right = b.left
        b.left = a
        a.bf = b.bf = 0
        return b

（3）LR型调整：a的左子树较高，新结点插入在a的左子树的右子树。先进行左旋转，再进行右旋转。

在下图的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0，c的BF也一定是0。结点4.1被插入到了a的左子树的右子树（图b中4.1插入到了c结点的左子树，当然也可以插到c结点的右子树，其调整过程都是一样的），需要进行LR型调整。

图c中，首先将c结点的左右子树分别摘下来，然后将结点4.5-4-3-2看做一条可以转动的链子，对其进行左旋转（逆时针）一个结点，就得到了图d，然后再将结点2-3-4-4.5-5-8-9看做一条转动的链子，将其进行右旋转（顺时针）一个结点，就得到了图e。

最后将原来c结点的左子树接到b结点的右子结点上，将原来c结点的右子树接到a结点的左子结点上，调整完成。

@staticmethod 
    def LR(a,b):
        c = b.right
        a.left, b.right = c.right, c.left
        c.left, c.right = b, a
        if c.bf == 0: #c本身就是插入点
            a.bf = b.bf = 0
        elif c.bf == 1: #插在c的左子树
            a.bf = -1
            b.bf = 0
        else:           #插在c的右子树
            a.bf = 0
            b.bf = 1
        c.bf = 0
        return c

 

（4）RL型调整：a的右子树较高，新结点插入在a的右子树的左子树。先进行右旋转，再进行左旋转。

 

RL型调整与LR型正好是对称的，操作步骤类似。在下图的图a中，a是最小非平衡子树的根，b的BF一定是0，c的BF也一定是0。结点5.5被插入到了a的右子树的左子树（图b中5.5插入到了c结点的左子树，当然也可以插到c结点的右子树，其调整过程都是一样的），需要进行RL型调整。

图c中，首先将c结点的左右子树分别摘下来，然后将结点7-9-10-11看做一条可以转动的链子，对其进行右旋转（顺时针）一个结点，就得到了图d，然后再将结点3-4-5-7-9-10-11看做一条转动的链子，将其进行左旋转（逆时针）一个结点，就得到了图e。

最后将原来c结点的左子树接到a结点的右子结点上，将原来c结点的右子树接到b结点的左子结点上，调整完成。

@staticmethod 
    def RL(a, b):
        c = b.left
        a.right, b.left = c.left, c.right
        c.left, c.right = a, b
        if c.bf == 0:
            a.bf = b.bf = 0
        elif c.bf == 1:
            a.bf = 0
            b.bf = -1
        else:
            a.bf = 1
            b.bf = 0
        c.bf = 0
        return c

平衡二叉树的插入操作的复杂度是O(log n)

 

最后：用平衡二叉树来实现一个字典类

首先，AVL树结点类需要增加一个bf域。

class AVLNode(BinTNode):
    def __init__(self, data):
        BinTNode.___init__(self,data)
        self.bf = 0

其次，AVL数是一种二叉排序树，所以可以直接继承二叉排序树的方法。

class DictAVL(DictBinTree):
    def __init__(self, data):
        DictBinTree.___init__(self)

插入操作的实现：

def insert(self, key, value):
        a = p = self.root
        if a is None: #如果根结点为空，则直接将值插入到根结点
            self.root = AVLNode(Assoc(key, value))
            return
        a_father, p_father = None   #a_father用于最后将调整后的子树接到其子结点上
        while p is not None: #通过不断的循环，将p下移，查找插入位置，和最小非平衡子树
            if key == p.data.key: #如果key已经存在，则直接修改其关联值
                p.data.value = value
                return
            if p.bf != 0: #如果当前p结点的BF=0，则有可能是最小非平衡子树的根结点
                a_father, a, = p_father, p
            p_father = p
            if key < p.data.key:
                p = p.left
            else:
                p = p.right
    
        #上述循环结束后，p_father已经是插入点的父结点，a_father和a记录着最小非平衡子树
        node = AVLNode(Assoc(key, value))
        if  key < p_father.data.key:
            p_father.left = node
        else:
            p_father.right = node
    
        #新结点已插入，a是最小非平衡子树的根结点
        if key < a.data.key: #新结点在a的左子树
            p = b = a.left
            d = 1           #d记录新结点被 插入到a的哪棵子树
        else:
            p = b = a.right #新结点在a的右子树
            d = -1
    
        #在新结点插入后，修改b到新结点路径上各结点的BF值。调整过程的BF值修改都在子函数中操作
        while p != node:
            if key < p.data.key:
                p.bf = 1
                p = p.left
            else:
                p.bf = -1
                p = p.right
        if a.bf == 0: #如果a的BF原来为0，那么插入新结点后不会失衡
            a.bf = d
            return
        if a.bf == -d: #如果新结点插入在a较低的子树里
            a.bf = 0
            return
    
        #以上两条if语句都不符合的话，说明新结点被插入在较高的子树里，需要进行调整
        if d == 1:                   #如果新结点插入在a的左子树
            if b.bf == 1:            #b的BF原来为0，如果等于1，说明新结点插入在b的左子树
                b = DictAVL.LL(a, b)
            else:                    #新结点插入在b的右子树
                b = DictAVL.LR(a, b)
        else:                        #新结点插入在a的右子树
            if b.bf == -1:           #新结点插入在b的右子树
                b = DictAVL.RR(a, b)
            else:                    ##新结点插入在b的左子树
                b = DictAVL.RL(a, b)
    
        #将调整后的最小非平衡子树接到原树中,也就是接到原来a结点的父结点上
        if a_father is None: #判断a是否是根结点
            self.root = b
        else:
            if a_father == a:
                a_father.left = b
            else:
                a_father.right = b

 

完整的代码如下：

class StackUnderflow(ValueError):   
    pass  
  
class SStack():  
    def __init__(self):  
        self.elems = []  
          
    def is_empty(self):  
        return self.elems == []  
      
    def top(self): #取得栈里最后压入的元素，但不删除  
        if self.elems == []:  
            raise StackUnderflow('in SStack.top()')  
        return self.elems[-1]  
      
    def push(self, elem):  
        self.elems.append(elem)  
          
    def pop(self):  
        if self.elems == []:  
            raise StackUnderflow('in SStack.pop()')  
        return self.elems.pop()
 
class Assoc: #定义一个关联类
    def __init__(self, key, value):
        self.key = key #键（关键码）
        self.value = value #值
    
    def __lt__(self, other):#Python解释器中遇到比较运算符<,会去找类里定义的__lt__方法（less than）
        return self.key < other.key
    
    def __le__(self, other): #（less than or equal to)
        return self.key < other.key or self.key == other.key
    
    def __str__(self):
        return 'Assoc({0},{1})'.format(self.key, self.value) #key和value分别替换前面{0},{1}的位置。
 
class BinTNode:  
    def __init__(self, dat, left = None, right = None):  
        self.data = dat  
        self.left = left  
        self.right = right 
    
class DictBinTree:  
    def __init__(self, root = None):  
        self.root = root
    
    def is_empty(self):
        return self.root is None
    
    def search(self, key):#检索是否存在关键码key
        bt = self.root
        while bt is not None:
            entry = bt.data
            if key < entry.key: 
                bt = bt.left
            elif key > entry.key:
                bt = bt.right
            else:
                return entry.value
        return None
        
    def insert(self, key, value):
        bt = self.root
        if bt is None:
            self.root = BinTNode(Assoc(key, value))
            return
        while True:
            entry = bt.data
            if key < entry.key: #如果小于当前关键码，转向左子树
                if bt.left is None: #如果左子树为空，就直接将数据插在这里
                    bt.left = BinTNode(Assoc(key,value))
                    return
                bt = bt.left
            elif key > entry.key:
                if bt.right is None:
                    bt.right = BinTNode(Assoc(key,value))
                    return
                bt = bt.right
            else:
                bt.data.value = value
                return
    def print_all_values(self):
        bt, s = self.root, SStack()
        while bt is not None or not s.is_empty(): #最开始时栈为空，但bt不为空；bt = bt.right可能为空，栈不为空；当两者都为空时，说明已经全部遍历完成了
            while bt is not None:
                s.push(bt)
                bt = bt.left
            bt = s.pop() #将栈顶元素弹出
            yield bt.data.key, bt.data.value
            bt = bt.right #将当前结点的右子结点赋给bt，让其在while中继续压入栈内
            
    def entries(self):
        bt, s = self.root, SStack()
        while bt is not None or not s.is_empty():
            while bt is not None:
                s.push(bt)
                bt = bt.left
            bt = s.pop() 
            yield bt.data.key, bt.data.value
            bt = bt.right
            
    def print_key_value(self):
        for k, v in self.entries():
            print(k, v)
            
    def delete(self, key):
        #以下这一段用于找到待删除结点及其父结点的位置。
        del_position_father, del_position = None, self.root #del_position_father是待删除结点del_position的父结点
        while del_position is not None and del_position.data.key != key: #通过不断的比较，找到待删除结点的位置
            del_position_father = del_position
            if key < del_position.data.key:
                del_position = del_position.left
            else:
                del_position = del_position.right
            if del_position is None:
                print('There is no key')
                return
            
        if del_position.left is None: #如果待删除结点只有右子树
            if del_position_father is None: #如果待删除结点的父结点是空，则说明待删除结点是根结点
                self.root = del_position.right #则直接将根结点置空
            elif del_position is del_position_father.left: #如果待删除结点是其父结点的左结点
                del_position_father.left = del_position.right #***改变待删除结点父结点的左子树的指向
            else:
                del_position_father.right = del_position.right
            return
        
        #如果既有左子树又有右子树，或者仅有左子树时，都可以用直接前驱替换的删除结点的方式，只不过得到的二叉树与原理中说明的不一样，但是都满足要求。
        pre_node_father, pre_node = del_position, del_position.left
        while pre_node.right is not None: #找到待删除结点的左子树的最右结点，即为待删除结点的直接前驱
            pre_node_father = pre_node
            pre_node = pre_node.right
        del_position.data = pre_node.data #将前驱结点的data赋给删除结点即可，不需要改变其原来的连接方式
 
        if pre_node_father.left is pre_node:
            pre_node_father.left = pre_node.left
        if pre_node_father.right is pre_node:
            pre_node_father.right = pre_node.left
        
            
def build_dictBinTree(entries):
    dic = DictBinTree()
    for k,v in entries:
        dic.insert(k,v)
    return dic
 
 
class AVLNode(BinTNode):
    def __init__(self, data):
        BinTNode.___init__(self,data)
        self.bf = 0
 
class DictAVL(DictBinTree):
    def __init__(self, data):
        DictBinTree.___init__(self)
        
    @staticmethod    
    def LL(a, b):
        a.left = b.right # 将b的右子树接到a的左子结点上
        b.right = a #将a树接到b的右子结点上
        a.bf = b.bf = 0 #调整a、b的bf值。
        return b
    
    @staticmethod 
    def RR(a, b):
        a.right = b.left
        b.left = a
        a.bf = b.bf = 0
        return b
    
    @staticmethod 
    def LR(a,b):
        c = b.right
        a.left, b.right = c.right, c.left
        c.left, c.right = b, a
        if c.bf == 0: #c本身就是插入点
            a.bf = b.bf = 0
        elif c.bf == 1: #插在c的左子树
            a.bf = -1
            b.bf = 0
        else:           #插在c的右子树
            a.bf = 0
            b.bf = 1
        c.bf = 0
        return c
    
    @staticmethod 
    def RL(a, b):
        c = b.left
        a.right, b.left = c.left, c.right
        c.left, c.right = a, b
        if c.bf == 0:
            a.bf = b.bf = 0
        elif c.bf == 1:
            a.bf = 0
            b.bf = -1
        else:
            a.bf = 1
            b.bf = 0
        c.bf = 0
        return c
    
    def insert(self, key, value):
        a = p = self.root
        if a is None: #如果根结点为空，则直接将值插入到根结点
            self.root = AVLNode(Assoc(key, value))
            return
        a_father, p_father = None   #a_father用于最后将调整后的子树接到其子结点上
        while p is not None: #通过不断的循环，将p下移，查找插入位置，和最小非平衡子树
            if key == p.data.key: #如果key已经存在，则直接修改其关联值
                p.data.value = value
                return
            if p.bf != 0: #如果当前p结点的BF=0，则有可能是最小非平衡子树的根结点
                a_father, a, = p_father, p
            p_father = p
            if key < p.data.key:
                p = p.left
            else:
                p = p.right
    
        #上述循环结束后，p_father已经是插入点的父结点，a_father和a记录着最小非平衡子树
        node = AVLNode(Assoc(key, value))
        if  key < p_father.data.key:
            p_father.left = node
        else:
            p_father.right = node
    
        #新结点已插入，a是最小非平衡子树的根结点
        if key < a.data.key: #新结点在a的左子树
            p = b = a.left
            d = 1           #d记录新结点被 插入到a的哪棵子树
        else:
            p = b = a.right #新结点在a的右子树
            d = -1
    
        #在新结点插入后，修改b到新结点路径上各结点的BF值。调整过程的BF值修改都在子函数中操作
        while p != node:
            if key < p.data.key:
                p.bf = 1
                p = p.left
            else:
                p.bf = -1
                p = p.right
        if a.bf == 0: #如果a的BF原来为0，那么插入新结点后不会失衡
            a.bf = d
            return
        if a.bf == -d: #如果新结点插入在a较低的子树里
            a.bf = 0
            return
    
        #以上两条if语句都不符合的话，说明新结点被插入在较高的子树里，需要进行调整
        if d == 1:                   #如果新结点插入在a的左子树
            if b.bf == 1:            #b的BF原来为0，如果等于1，说明新结点插入在b的左子树
                b = DictAVL.LL(a, b)
            else:                    #新结点插入在b的右子树
                b = DictAVL.LR(a, b)
        else:                        #新结点插入在a的右子树
            if b.bf == -1:           #新结点插入在b的右子树
                b = DictAVL.RR(a, b)
            else:                    ##新结点插入在b的左子树
                b = DictAVL.RL(a, b)
    
        #将调整后的最小非平衡子树接到原树中,也就是接到原来a结点的父结点上
        if a_father is None: #判断a是否是根结点
            self.root = b
        else:
            if a_father == a:
                a_father.left = b
            else:
                a_father.right = b
if __name__=="__main__":
    #LL调整
    entries = [(5,'a'),(2.5,'g'),(2.3,'h'),(3,'b'),(2,'d'),(4,'e'),(3.5,'f')]
    dic = build_dictBinTree(entries)
    dic.print_key_value()
    print('after inserting')
    dic.insert(1, 'i') 
    dic.print_key_value()
    
    #LR调整
    entries = [(2.5,'g'),(3,'b'),(4,'e'),(3.5,'f')]
    dic = build_dictBinTree(entries)
    dic.print_key_value()
    print('after inserting')
    dic.insert(3.2, 'i') #LL
    dic.print_key_value()