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前缀和算法

作者：很楠不爱3 | 2024-03-29 06:38:36

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前缀和算法

例题一

解法（前缀和）：

算法思路：

a. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：

⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；

b. 使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

例题二

例题三

解法（前缀和）：算法思路：

从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀

和」。

▪ 因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。

▪ 然后，我们可以⽤⼀个 for 循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及

「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。

例题四

解法（前缀和数组）：

算法思路：

注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使

⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。

继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：

i. nums[0] * nums[1] * nums[2] * ... * nums[i - 1]

ii. nums[i + 1] * nums[i + 2] * ... * nums[n - 1]

于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组 lmul 和 rmul，分别处理出来两个信息：

i. lmul 表⽰：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，

ii. rmul 表⽰： i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积,然后再处理最终结果。

例题五

解法（将前缀和存在哈希表中）：

算法思路：

设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是 sum[i] - k 了。于是问题就变成： ◦ 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于

sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种

前缀和出现的次数。

例题六

解法（前缀和在哈希表中）：

本题需要的前置知识：

• 同余定理

如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n == b % n 。⽤⽂字叙

述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。

• c++ 中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果

a. c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。

例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1

b. 因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。

例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

算法思路：

思路与 560. 和为 K 的⼦数组这道题的思路相似。

设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。

• 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得 (b - a) % k == 0 。

• 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：

◦ 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于

sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前

缀和出现的次数。

例题七

解法（前缀和在哈希表中）：算法思路：

稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：

• 本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。

• 如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。

• 于是，就和 560. 和为 K 的⼦数组这道题的思路⼀样 ,设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题就变成：

• 找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i]的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。

例题八

⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上

⻆」以及「右下⻆」的坐标（推荐⼤家画图）

左上⻆坐标： x1 = i - k ， y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;

右下⻆坐标： x1 = i + k ， y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 m - 1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k) 。然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）

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