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前缀和算法
作者：很楠不爱3 | 2024-03-29 06:38:36
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前缀和算法
例题一
解法（前缀和）：
算法思路：
a.
先预处理出来⼀个「前缀和」数组：
⽤
dp[i]
表⽰：
[1, i]
区间内所有元素的和，那么
dp[i - 1]
⾥⾯存的就是
[1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
b.
使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：当询问的区间是 [l, r]
时：区间内所有元素的和为：
dp[r] - dp[l - 1]
。
例题二
例题三
解法（前缀和）：
算法思路：
从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀
和」。
▪
因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。
▪
然后，我们可以⽤⼀个 for
循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及
「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。
例题四
解法（前缀和数组）：
算法思路：
注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在
O(N)
的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使
⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。
继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果
ret[i]
，它是由两部分组成的：
i.
nums[0] * nums[1] * nums[2] * ... * nums[i - 1]
ii.
nums[i + 1] * nums[i + 2] * ... * nums[n - 1]
于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组 lmul 和 rmul，分别处理出来两个信息：
i.
lmul 表⽰：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，
ii.
rmul 表⽰： i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积,然后再处理最终结果。
例题五
解法（将前缀和存在哈希表中）：
算法思路：
设
i
为数组中的任意位置，⽤
sum[i] 表⽰ [0, i]
区间内所有元素的和。
想知道有多少个「以
i 为结尾的和为 k 的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得
[x, i] 区间内的所有元素的和为 k
。那么
[0, x] 区间内的和是不是就是 sum[i] - k 了。于是问题就变成：
◦
找到在
[0, i - 1]
区间内，有多少前缀和等于
sum[i] - k 的即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在
i
位置之前，有多少个前缀和等于
sum[i] - k
。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种
前缀和出现的次数。
例题六
解法（前缀和在哈希表中）：
本题需要的前置知识：
•
同余定理
如果
(a - b) % n == 0
，那么我们可以得到⼀个结论：
a % n == b % n
。⽤⽂字叙
述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
例如：
(26 - 2) % 12 == 0
，那么
26 % 12 == 2 % 12 == 2
。
•
c++
中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果
a.
c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。
例如：
-1 % 3 = -(1 % 3) = -1
b.
因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n
的形式输出保证为正。
例如：
-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
算法思路：
思路与
560. 和为 K 的⼦数组
这道题的思路相似。
设 i 为数组中的任意位置，⽤
sum[i]
表⽰
[0, i]
区间内所有元素的和。
•
想知道有多少个「以 i
为结尾的可被
k
整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为
x1, x2, x3... 使得
[x, i]
区间内的所有元素的和可被
k
整除。
•
设 [0, x - 1]
区间内所有元素之和等于
a
，
[0, i]
区间内所有元素的和等于
b
，可得 (b - a) % k == 0 。
•
由同余定理可得， [0, x - 1]
区间与
[0, i]
区间内的前缀和同余。于是问题就变成：
◦
找到在
[0, i - 1]
区间内，有多少前缀和的余数等于
sum[i] % k
的即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在
i
位置之前，有多少个前缀和等于
sum[i] - k
。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前
缀和出现的次数。
例题七
解法（前缀和在哈希表中）：
算法思路：
稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：
•
本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和
1
出现的次数相同。
•
如果将 0
记为
-1
，
1
记为
1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0
。
•
于是，就和
560. 和为 K 的⼦数组
这道题的思路⼀样 ,设 i 为数组中的任意位置，⽤
sum[i]
表⽰
[0, i]
区间内所有元素的和。 想知道最⼤的「以 i
为结尾的和为
0
的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个
x1
使得
[x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。那么
[0, x1 - 1]
区间内的和是不是就是
sum[i]
了。于是问题就变成：
•
找到在
[0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于
sum[i]的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。
例题八
⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上
⻆」以及「右下⻆」的坐标（推荐⼤家画图）
左上⻆坐标：
x1 = i - k
，
y1 = j - k
，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对
0 取⼀个 max
。因此修正后的坐标为：
x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k)
;
右下⻆坐标：
x1 = i + k
，
y1 = j + k
，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对
m - 1 ，以及
n - 1
取⼀个
min
。因此修正后的坐标为：
x2 = min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k) 。
然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）
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