机器学习 - 反向传播算法 (BP)_机器学习反向传播算法

1. Cost Function

首先定义一些需要使用的变量：

$L$ = total number of layers in the network；
$s_l$ = number of units (not counting bias unit) in layer $l$
$K$ = number of output units/classes

将神经网络的分类定义为两种情况：二类分类和多类分类，

二类分类：$S_L=0,y=0or1$表示哪一类；

$K$类分类：$S_L=k,y_i=1$表示分到第$i$类；$(k>2)$

神经网络代价函数$J(\theta )$将是用于逻辑回归的成本函数的推广。
逻辑回归问题中代价函数为：

$$J\left(\theta \right)=-\frac{1}{m}\left[\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}\log h_{\theta }(x^{(i)})+\left(1-y^{(i)}\right)log\left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)\right]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{{\theta }_j}^2$$

在Logistic Regression中，只有一个输出变量，也只有一个因变量$y$，但是在Neural Network中，输出层可以有多个变量，$h_{\theta }(x)$是一个$K\ast 1$的列向量，故代价函数会比逻辑回归更多元，为： \newcommand{\subk}[1]{ #1_k }
$$h_{\theta }\left(x\right)\in {\mathbb{R}}^K$$ $${\left(h_{\theta }\left(x\right)\right)}_i=i^{th}\text{output}$$$$J(\Theta )=-\frac{1}{m}\left[\sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^k{y_k}^{(i)}\log (h_{\Theta }(x^{(i)}))+\left(1-y_k^{(i)}\right)\log \left(1-\left(h_{\Theta }\left(x^{(i)}\right)\right)\right)\right]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{l=1}^{L-1}\sum _{i=1}^{s_l}\sum _{j=1}^{s_{l+1}}{\left({\Theta }_{ji}^{(l)}\right)}^2$$

添加一些嵌套求和来说明多个输出节点。 在等式的第一部分，在方括号之前，有一个额外的嵌套求和，它循环遍历输出节点的数量。

在正则化部分，在方括号之后，必须考虑多个 $\theta$ 矩阵。 当前 $\theta$ 矩阵中的列数等于当前层中的节点数（包括bias偏置单元）。当前的 $\theta$ 矩阵中的行数等于下一层的节点数（不包括bias偏置单元）。 与之前的逻辑回归一样，对每一项进行平方。

小结:
double sum 只是将输出层中每个单元格计算的逻辑回归成本相加;
tribal sum 只是将整个网络中所有单个 Θ 的平方相加；其中 j 可看做Θ的列，i 为Θ的行；
三重总和中的 i 不是指训练示例 i。
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后续修改: 上述改为"其中 i 可看做Θ的列，j 为Θ的行"

2. BP算法 (Backward Propagation)

“反向传播”是神经网络术语，用于最小化成本函数，就像在逻辑回归和线性回归中使用梯度下降所做的一样。 目标是计算：$minJ(\Theta )$.

也就是说，希望使用 $\theta$ 中的一组最佳参数来最小化的成本函数 $J$。为了计算代价函数的偏导数$\frac{\partial }{\partial {\Theta }_{ij}^{(l)}}J\left(\Theta \right)$，需要采用一种反向传播算法，也就是首先计算最后一层的误差，然后再一层一层反向求出各层的误差，直到倒数第二层。注, 第一层是输入层, 不计算误差.

在看BP前，先看FP，也就是在计算神经网络预测结果时采用了一种正向传播方法，从第一层开始正向一层一层进行计算，直到最后一层的$h_{\theta }\left(x\right)$。

前向传播算法(Forward Propagation)：

反向传播算法(Back Propagation Algorithm):

下面的公式推导之前可先查看：
<https://blog.csdn.net/weixin_45091300/article/details/119956352?spm=1001.2014.3001.5501>
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从最后一层的误差开始计算，误差是激活单元的预测（$a^{(4)}$）与实际值（$y^k$）之间的误差，（$k=1:k$）。
用$\delta$来表示误差，则：${\delta }^{(4)}=a^{(4)}-y$
利用这个误差值来计算前一层的误差：
$${\delta }^{(3)}={\left({\Theta }^{(3)}\right)}^T{\delta }^{(4)}\ast s^{\prime }\left(z^{(3)}\right)$$
其中 $s^{\prime }(z^{(3)})$是 $sigmoid$ 函数的导数，$s^{\prime }(z^{(3)})=a^{(3)}\ast (1-a^{(3)})$。而$({\theta }^{(3)}{)}^T{\delta }^{(4)}$则是权重导致的误差的和。下一步是继续计算第二层的误差：
$${\delta }^{(2)}=({\Theta }^{(2)}{)}^T{\delta }^{(3)}\ast s^{\prime }(z^{(2)})$$
因为第一层是输入变量，不存在误差。有了所有的误差的表达式后，便可以计算代价函数的偏导数了，假设$\lambda =0$，即不做任何正则化(Regularization)处理时有：
$$\frac{\partial }{\partial {\Theta }_{ij}^{(l)}}J(\Theta )=a_j^{(l)}{\delta }_i^{l+1}$$

其中上下标的含义:

l 代表目前所计算的是第几层;

j 代表目前计算层中的激活单元的下标，也将是下一层的第j个输入变量的下标;

i 代表下一层中误差单元的下标，是受到权重矩阵中第 i 行影响的下一层中的误差单元的下标。
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3. BP 理解

前向传播算法：

圈出的部分是偏置单元(bias unit), 在计算时要时刻注意. 即:$$x_0=a_0^{(2)}=a_0^{(3)}=1$$


FP是按照设定的参数${\theta }^{(l)}$与特征值$x^{(i)}$逐层进行计算, 即:
a 1 ( 2 ) = s ( θ 10 ( 1 ) x 0 + θ 11 ( 1 ) x 1 + θ 12 ( 1 ) x 2 ) a 2 ( 2 ) = s ( θ 20 ( 1 ) x 0 + θ 21 ( 1 ) x 1 + θ 22 ( 1 ) x 2 )

$$\begin{aligned} &a_{1}^{(2)}=s(\theta _{10}^{(1)}{ {x}_{0}}+\theta _{11}^{(1)}{ {x}_{1}}+\theta _{12}^{(1)}{ {x}_{2}}) \\ &a_{2}^{(2)}=s(\theta _{20}^{(1)}{ {x}_{0}}+\theta _{21}^{(1)}{ {x}_{1}}+\theta _{22}^{(1)}{ {x}_{2}}) \\ \end{aligned}$$ ​a1(2)​=s(θ10(1)​x0​+θ11(1)​x1​+θ12(1)​x2​)a2(2)​=s(θ20(1)​x0​+θ21(1)​x1​+θ22(1)​x2​)​$$\begin{array}{rl}& a_1^{(3)}=s({\theta }_{10}^{(2)}{a}_0^{(2)}+{\theta }_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+{\theta }_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)})\\ & a_2^{(3)}=s({\theta }_{20}^{(2)}{a}_0^{(2)}+{\theta }_{21}^{(2)}{a}_1^{(2)}+{\theta }_{22}^{(2)}{a}_2^{(2)})\end{array}$$$$a^{(4)}=h_{\theta }(x)=s({\theta }_{10}^{(3)}{a}_0^{(3)}+{\theta }_{11}^{(3)}{a}_1^{(3)}+{\theta }_{12}^{(3)}{a}_2^{(3)})$$
反向传播算法做的是：