机器学习—深度学习之基础理论算法原理推导—线性回归（Linear Regression）算法原理推导_深度学习线性推导过程

1. 概念

线性回归是有监督学习的一种，线性回归（Linear Regression）解决的是连续数据的预测问题，是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型，其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。线性回归是一个典型的回归问题，也即平时所说的最小二乘法。

2. 特点

优点：结果具有很好的可解释性（参数w直观表达了各属性在预测中的重要性），计算熵不复杂。

缺点：对非线性数据拟合不好

适用数据类型：数值型和标称型数据

3. 理论推导

3.1 数据

给定数据集$D={(x_i, y_i)}, i=1,2,...,n$，其中$x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{in}]), y_i \in R$（即线性回归的输出空间是整个实数空间）。因此，在数据集D中共有m个样本，每个样本共有n个特征（或属性），则D可用m*n的矩阵X进行表示：

数据样本的真实值，即标签可用m*1的矩阵表示：

为了构建模型，假设存在参数W，W为n*1的向量：

则线性回归试图学得模型：

注意：有时候为了方便书写和推导，将偏置也表示成w0，并统一写到W向量中，即：

$W=(w_0, w_1, w_2,...,w_n)^T$，其中$w_0=b$

此时需要在每个样本第一列添加1，即：

$x_i = (1, x_{i1}, x_{i2},...,x_{in})$

则有$b=w_0*1=w_0$

3.2 对于每个样本，预测值与真实值之间多多少少存在一定的差异，即：

根据假设（或经验等），对于每个样本，误差$\epsilon_i$是独立且同分布的，并且服从均值为0，方差为$w_i^2$的高斯分布（正态分布）。

• 独立：每个样本预测值与真实值之间的差异各不相同，互无关系
• 同分布：由于是同一个模型对不同样本进行预测，故产生的误差具有相同的分布，由模型决定
• 高斯分布：预测的误差不会太大，极小情况下出现浮动较大的情况。

3.3 由于误差服务高斯分布，则由其概率公式：

 

得误差的概率表达式为：

由(2)式得：

代入(3)式得：

(4)式即表示在已知参数W和数据xi的情况下，预测值为yi的条件概率。

3.4 似然函数

似然函数（Likelihood function）：根据样本估计参数值。即什么样的参数与数据组合将可能得到最好的模型结果。

因此，对于所有样本，将其概率相乘，即为模型生成概率：

上式(5)中累乘计算复杂，因此可考虑通过对数变换成累加：

3.5 极大似然估计

极大似然估计：似然函数代表概率，因此越大越好。则对数似然函数也越大越好。分析式(6)得：第一项为常数项，因此第二项越小越好。令：

注：留下$\frac {1}{2}$是考虑到便于求导抵消，所得J(W)为最小二乘法，即通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。基于均方误差最小化来求解模型的方法叫最小二乘法。

将(7)式中参数用矩阵的形式表示为：

3.6 求解

目标函数J(W)为凸函数，因此对W求偏导并令偏导等于0，即可找到最优解。根据式(8)对W求偏导：

令偏导等于0，即：

对于式(10)，存在两种情况：

若$X^TX$可逆，则存在唯一解，即：

则所得线性回归模型为：

若$X^TX$不可逆，则可能存在多个解，选择哪个解作为输出，将有学习算法的偏好决定，常见的做法是增加$\lambda$扰动，即：

3.7 理论上可以根据式(11)或式(13)直接求得W的值，但当X维度较高时矩阵求逆计算量非常大，因此在实际应用中往往采用梯度下降的算法更新W的值，即：

其中$\alpha$为学习率。

3.8 补充：矩阵求导公式