【机器学习-02】矩阵基础运算---numpy操作，头条面试有几面

先自我介绍一下，小编浙江大学毕业，去过华为、字节跳动等大厂，目前阿里P7

深知大多数程序员，想要提升技能，往往是自己摸索成长，但自己不成体系的自学效果低效又漫长，而且极易碰到天花板技术停滞不前！

因此收集整理了一份《2024年最新Python全套学习资料》，初衷也很简单，就是希望能够帮助到想自学提升又不知道该从何学起的朋友。

既有适合小白学习的零基础资料，也有适合3年以上经验的小伙伴深入学习提升的进阶课程，涵盖了95%以上Python知识点，真正体系化！

由于文件比较多，这里只是将部分目录截图出来，全套包含大厂面经、学习笔记、源码讲义、实战项目、大纲路线、讲解视频，并且后续会持续更新

如果你需要这些资料，可以添加V获取：vip1024c （备注Python）

正文

np.triu(a1, -1)
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[0, 7, 8]])

上三角矩阵向右上偏移一位

np.triu(a1, 1)
array([[0, 1, 2],
[0, 0, 5],
[0, 0, 0]])

下三角矩阵

np.tril(a1)
array([[0, 0, 0],
[3, 4, 0],
[6, 7, 8]])

#### 3.NumPy中矩阵基本运算


  由于NumPy中我们使用二维数组来表述矩阵，因此二维数组也就具备了数组和矩阵的两重属性。其中数组属性决定的基本运算相对简单，基础运算（如加减乘除）就是对应位置元素进行逐元素计算，而矩阵属性决定的运算则稍显复杂，当然矩阵的相关线性代数运算将在下一小节讨论，在基础运算上，矩阵和数组核心的区别在于乘法运算。  
   当然，从另一个角度考虑，其实对于向量和矩阵这种具备一定结构的对象，有很多种容易混淆的计算规则。对于常用的计算规则，我们通过将其划分成三类以帮助大家理解：




| **描述** | **解释/函数** |
| --- | --- |
| 逐元素相乘 | 向量、矩阵通用 |
| 每个对应位置元素相乘 | \* |
| 逐元素相乘后相加 | 也被称为点积（内积），向量，矩阵通用 |
| 向量点积 | vdot、dot、inner |
| 矩阵点积 | vdot |
| 矩阵乘法 | 代数学意义的矩阵相乘 |
| 矩阵乘法 | dot、matmul、@ |


* \* :逐元素相乘



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a = np.arange(4)
a
array([0, 1, 2, 3])

a * a
array([0, 1, 4, 9])

A = a.reshape(2, 2)
A
array([[0, 1],
[2, 3]])

A * A
array([[0, 1],
[4, 9]])

* 向量点积  
   所谓点积（也被称为内积），指的是向量或矩阵对应位置元素相乘后相加。向量点积有三种实现方法，分别是dot、vdot和ineer。



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np.dot(a, a)
14

a.dot(a)
14

(a * a).sum()
14

np.vdot(a, a)
14

np.inner(a, a)
14

* 矩阵点积  
   值得注意的是，矩阵内积只有vdot一种方式实现。



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A
array([[0, 1],
[2, 3]])

np.vdot(A, A)
14

(A * A).sum()
14

> 
> 注意，高维数组的inner并不是内积，而是一种类似tensordot的沿着尾轴实现和积的计算过程，该方法并不通用，此处暂不做介绍。
> 
> 
> 


* 矩阵乘法  
   NumPy中，我们可以使用诸多方法实现矩阵乘法，包括dot、@、matmul等。



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a1 = np.arange(1, 7).reshape(2, 3)
a1
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])

a2 = np.arange(1, 10).reshape(3, 3)
a2
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])

矩阵乘法

np.matmul(a1, a2)
array([[30, 36, 42],
[66, 81, 96]])

此处也简单回顾矩阵乘法运算，上述相乘过程如下所示：  
 ![5](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/36df4390ff19a8bab94b663fedd19391.jpeg)



> 
> 值得注意的是，矩阵相乘要求左乘矩阵列数和右乘矩阵行数相同，而内积计算过程则严格要求两个向量/矩阵形状完全一致。
> 
> 
> 


#### 4.NumPy中矩阵代数运算


  如果说矩阵的基本运算是矩阵基本性质，那么矩阵的线性代数运算，则是我们利用矩阵数据类型在求解实际问题过程中经常涉及到的线性代数方法，具体相关函数如下：  
 



 矩阵的线性代数运算 




| **函数** | **描述** |
| --- | --- |
| np.trace(A) | 矩阵的迹 |
| np.linalg.matrix\_rank(A) | 矩阵的秩 |
| np.linalg…det(A) | 计算矩阵A的行列式 |
| np.linalg.inv(A) | 矩阵求逆 |


同时，由于线性代数所涉及的数学基础知识较多，从实际应用的角度出发，我们将有所侧重的介绍实际应用过程中需要掌握的相关内容，并通过本节末尾的实际案例，来加深线性代数相关内容的理解。



> 
> NumPy中的linalg是linear algebra（线性代数）的简写，也是NumPy中保存线性代数相关计算函数的模块。
> 
> 
> 


* 矩阵的迹（trace）


  矩阵的迹的运算相对简单，就是矩阵对角线元素之和，在NumPy中，可以使用trace函数进行计算。



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A = np.array([[1, 2], [4, 5]])
A
array([[1, 2],
[4, 5]])

np.trace(A)
6

当然，对于矩阵的迹来说，计算过程不需要是方正



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B = np.arange(1, 7).reshape(2, 3)
B
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])

np.trace(B)
6

* 矩阵的秩(rank)  
   矩阵的秩（rank），是指矩阵中行或列的极大线性无关数，且矩阵中行、列极大无关数总是相同的，任何矩阵的秩都是唯一值，满秩指的是方阵（行数和列数相同的矩阵）中行数、列数和秩相同，满秩矩阵有线性唯一解等重要特性，而其他矩阵也能通过求解秩来降维，同时，秩也是奇异值分解等运算中涉及到的重要概念。



> 
> 所谓线性相关，其实也就是线性表示，如果 
>  
>  
>  
>  
>  y 
>  
>  
>  = 
>  
>  
>  w 
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  + 
>  
>  
>  b 
>  
>  
>  
>  y=wx+b 
>  
>  
>  y=wx+b，我们则称y可以由x线性表示，二者线性相关，反之则线性无关。类似，如果 
>  
>  
>  
>  
>  y 
>  
>  
>  = 
>  
>  
>  
>  w 
>  
>  
>  1 
>  
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  1 
>  
>  
>  
>  
>  w 
>  
>  
>  2 
>  
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  2 
>  
>  
>  
>  + 
>  
>  
>  b 
>  
>  
>  
>  y=w\_1x\_1w\_2x\_2+b 
>  
>  
>  y=w1​x1​w2​x2​+b，则我们称y可以由 
>  
>  
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  1 
>  
>  
>  
>  、 
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  2 
>  
>  
>  
>  
>  x\_1、x\_2 
>  
>  
>  x1​、x2​线性表示，y与 
>  
>  
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  1 
>  
>  
>  
>  、 
>  
>  
>  
>  x 
>  
>  
>  2 
>  
>  
>  
>  
>  x\_1、x\_2 
>  
>  
>  x1​、x2​线性相关。
> 
> 
> 


* matrix\_rank计算矩阵的秩



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A = np.array([[1, 3, 4], [2, 1, 3], [1, 1, 2]])
A
array([[1, 3, 4],
[2, 1, 3],
[1, 1, 2]])

np.linalg.matrix_rank(A)
2

对于矩阵A来说，第三列明显可以由第一列和第二列相加得出，因此极大线性无关组只有两列。



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B = np.array([[1, 3, 4], [2, 1, 3], [1, 1, 10]])
B
array([[ 1, 3, 4],
[ 2, 1, 3],
[ 1, 1, 10]])

np.linalg.matrix_rank(B)
3

* 矩阵的行列式(det)  
   所谓行列式，我们可以简单将其理解为矩阵的一个基本性质或者属性，通过行列式的计算，我们能够知道矩阵是否可逆，从而可以进一步求解矩阵所对应的线性方程。当然，更加专业的解释，行列式的作为一个基本数学工具，实际上就是矩阵进行线性变换的伸缩因子。


对于任何一个n维方正，行列式计算过程如下：  
 ![7](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1f882d8521935eb1bd57f67abc72a857.jpeg)


更为简单的情况，如果对于一个2\*2的矩阵，行列式的计算就是主对角线元素之积减去另外两个元素之积



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A = np.array([[1, 2], [4, 5]])
A
array([[1, 2],
[4, 5]])

np.linalg.det(A)
-2.9999999999999996

A的秩计算过程如下：  
 ![6](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c5d9d9e620301f9a421c39c95e18b8af.jpeg)


对于行列式的计算，要求矩阵必须是方阵，也就是行列数必须一致。



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B = np.arange(1, 7).reshape(2, 3)
B
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])

np.linalg.det(B)

A = np.array([[1, 3, 4], [2, 1, 3], [1, 1, 2]])
A
array([[1, 3, 4],
[2, 1, 3],
[1, 1, 2]])

np.linalg.det(A)
0.0

* 矩阵的逆  
   对于满秩的方正来说，可以求其逆矩阵。从基本定义上来看，如果矩阵B和矩阵A相乘能够得到单位矩阵，即：  
  
 
 
 
 
 B 
 
 
 ⋅ 
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