算法的时间复杂度_n!时间复杂度

一、算法的复杂度

计算机在执行程序的时候是需要一定时间的，实现同一个功能不同的代码执行的时间不同，如何衡量代码的执行时间与计算机执行效率之间的平衡，引进了算法的复杂度，算法的复杂度又分为时间复杂度和空间复杂度。

• 时间复杂度：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。 
• 空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

二、时间复杂度

1、时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2、时间复杂度

时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

三、时间复杂度的表示方法

算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。这种情况下的表示方法大O表示法。

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

一般情况下，对一个问题（或一类算法）只需选择一种基本操作来讨论算法的时间复杂度即可，有时也需要同时考虑几种基本操作，甚至可以对不同的操作赋予不同的权值，以反映执行不同操作所需的相对时间，这种做法便于综合比较解决同一问题的两种完全不同的算法。

四、算法复杂度的计算步骤

• 第一步：用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 第二步：在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 第三步：如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

五、计算算法复杂度

常见的算法复杂度包括常数阶、线性阶、对数阶、平方阶等，下面分别举例计算。

1、常数阶

int sum = 0,n = 100; //执行一次  
sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
System.out.println (sum); //执行一次

可以看出上面的程序执行了三次，这个算法的运行次数函数是f(n)=3,根据我们推导的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

2、线性阶

要确定某个算法的阶次，需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。如下：

for(int i=0;i<n;i++){
    //时间复杂度为O(1)的算法
    ...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次,则f(n) = n;，因此时间复杂度为O(n)。

3、对数阶

int count=1;
while(count<n){ 
	count=count*2; 
	/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
} 

可以看出这个循环退出的条件是，当count的每次循环不断增大，最后当count大于等于n的时候跳出循环，用x表示循环次数，得到2^x=n; 则:x=log₂n,即f(n) = log₂n,因此得出这个算法的时间复杂度为O(log2n)。

4、平方阶 

for(int i=0;i<n;i++){   
   for(int j=0;j<n;i++){
     //复杂度为O(1)的算法
     ... 
   }
}

循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。内层循环的时间复杂度为O(n)，外层为O(n)，则总的时间复杂度为O(n²)。

常见的时问复杂度如表所示。

参考资料：《大话数据结构》、《图解数据结构》