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【Java】数据结构---二叉树详解_先序遍历为efhigjk,中序遍历为hfiejkg

作者：很楠不爱3 | 2024-05-27 16:37:18

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先序遍历为efhigjk,中序遍历为hfiejkg

快速导航：

1 树形结构
2 二叉树
3. 二叉树相关代码

1 树形结构

1.1 树形结构概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
注意：子树之间不能有交集！

1.2 需要记忆概念

在这里插入图片描述

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

不需要特殊记忆概念：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

列如：
孩子兄弟表示法：

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
1
2
3
4
5

在这里插入图片描述

2 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完
全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k -1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，(i为根结点编号)，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 相关例题讲解

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（200 ） // n0=n2+1
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ n）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

// 2n一定是偶数，所以n1一定是1个 n0 n2不一定
所以 :（n0=n2+1）叶子节点即为n0 解出x即可：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
相同地，对于奇数几点有：

一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（384）
A 383
B 384
C 385
D 386
//767是奇数，n1一定是0
n0=n2+1
有767=n0+n2=n0+n0-1====> n0(叶子节点)=384
一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（10 ）
A 11
B 10
C 8
D 12

//log2(n+1) 向上取整：
k=log2 534
2^9=512
531
2^10=1024
根据向上取整，得k=10

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法

class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
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2.5二叉树的遍历

核心思想： 二叉树定义是递归式的

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
（序可以理解为根节点root）

有关二叉树三种遍历方式OJ题如下：

2.5.1 前序遍历

二叉树的前序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public List<Integer> list=new ArrayList<>();
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root==null) return list;
        list.add(root.val);
        preorderTraversal(root.left);
        preorderTraversal(root.right);
        return list;


    }
}
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2.5.2 中序遍历

二叉树的中序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public List<Integer> list=new ArrayList<>();
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root==null) return list;
        inorderTraversal(root.left);
        list.add(root.val);
        inorderTraversal(root.right);
        return list;
        

    }
}
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2.5.3 后序遍历

二叉树的后序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
     public List<Integer> list=new ArrayList<>();
     public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        if(root==null) return list;
        postorderTraversal(root.left);
        postorderTraversal(root.right);
        list.add(root.val);
        return list;
    }
}
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