路径规划算法曲线篇（二）—— B样条曲线轨迹表示详解_曲线生成在路径规划中的目的

1. 贝塞尔曲线

(1). 贝塞尔曲线的作用

贝塞尔曲线的作用是给定控制点，通过控制点生成对应的曲线进行轨迹拟合，输入为点，输出为受到控制点约束而产生的轨迹。

(2). 贝塞尔曲线的数学表达式

假设给定N个控制点，得到的为N-1阶的贝塞尔曲线，具体如下所示：

综上，可以推导出N+1个点所控制的N阶贝塞尔曲线表达式：

n阶贝塞尔曲线求导后仍然是n-1阶贝塞尔曲线，控制点为原控制点的组合

(3). 伯恩斯坦基多项式 

可以看作是二项式展开！！！

n阶伯恩斯坦基多项式求导后仍然是n-1伯恩斯坦基函数

(4). 贝塞尔曲线的性质

(5). 贝塞尔曲线的缺点

 二、B样条曲线

下面这个博主视频给我启发很大 

详解样条曲线（上）（包含贝塞尔曲线）-CSDN博客

(1). B样条曲线的优点

和Bezier曲线一样也是通过逼近一组控制点来产生曲线，但是B样条多项式的次数可独立于控制点数目（有一定限制），且允许局部控制曲线或曲面。

(2). B样条曲线的数学表达式

假设有N个控制点：

这些控制点用于定义样条曲线的走向、界限分为，则k阶B样条的定义为：

(3). B样条曲线的递推式 

(4). B样条曲线的性质

B样条多项式的次数可独立于控制点的数目（有一定限制），且允许局部控制曲线和曲面生成曲线，本质上是找一组基，各个点是坐标，线性组合。或者理解为在控制点前添加一个权重，然后累加即可。

三、B样条的导数

先讲clamped B样条

既然B样条是贝塞尔曲线的扩展，那么必然要继承贝塞尔曲线一些优良的性质。贝塞尔曲线的导数还是贝塞尔， B样条的导数还是B样条。

接下来看推导公式：

B样条公式

基函数求导

基函数求导为低一阶的基函数求导

最终的基函数求导

因此，可知，B样条的导数还是B样条， 依然保留B样条的优良特性。

控制点减1，阶数减1，那么节点数目必然是减2. 对于clamped B样条，只要是去除第一个和最后一个节点就ok了，因此clamped B样条的求导还是clamped B样条，这个性质使其方便计算，应用广泛。