汉诺塔问题Python代码---学习记录_python汉诺塔递归代码

一、前言

        作者在算法学习过程中，遇到了一些经典和令人难以理解的问题，坚持希望先依靠自己去解决问题的原则，自己收获很多兴奋的成果，即使很多早已在网上被研究过很多很多遍。因此想找个地方记录自己的学习过程。本篇则是利用递归函数解决的汉诺塔问题

二、汉诺塔问题描述

        汉诺塔问题起源于一个古老的印度传说，简单描述如下：存在三根相同并排的柱子（起始柱，目标柱，辅助柱），第一根柱子上面有从小到大依次排列的n个盘子，大盘子在下面，小盘子在上面，现在需要将这n个盘子从起始柱移动到目标柱上。

        移动的规则是：①每次只能移动一个盘子，而且只能移动柱子上最顶部的圆盘；②大盘子不能放在小盘子上面。

三、数学求解

        在这个问题里面我们需要找到一个将圆盘移动到目标柱的方法，更进一步的，还可以找到移动圆盘的最小步数。首先对这种毫无头绪的问题，不能从许多的圆盘开始尝试移动，我们需要从圆盘数量为1开始分析找规律。

1.求解数学规律

        （1）当 n = 1 时，显然将起始柱上的圆盘移动到目标柱即可。移动次数为

        

        （2）当 n = 2 时，则需要将起始柱上的小圆盘先移动到辅助柱上，再将起始柱上的大圆盘移动到目标柱上，最后辅助柱上的小圆盘移动到目柱上即可。

     

      

        （3）当 n = 3 时，我们先不进行移动操作，观察可知，第三个大圆盘移动受限最多，最不易被移动，主要是因为上面有两个较小的圆盘需要移动。因此我们可以将两个小圆盘看作一个合体圆盘，这样只需将合体圆盘移动到辅助柱上，大圆盘便可以移动目标柱，之后再把合体圆盘移到目标柱即可。

        合体圆盘的移动次数可以参照圆盘数为 2 时，移动次数 MoveCount2 有3次，而大圆盘的移动次数为1，则最终移动次数为

        （4）此时我们可以考虑数量为 n 时，类比上述三个圆盘的移动方法，我们需要将 n - 1 个圆盘先放到辅助柱上，这样才可以移动第 n 个大圆盘从起始柱上移动到目标柱，接着再把 n - 1 个圆盘从辅助柱上移动到目标上，所以我们可以得到 MoveCount(n) = 2 ×   MoveCount(n - 1) + 1.

        为了便于公式书写，我们将 MoveCount(n) 写作 ，这样我们便把移动次数的规律写成一个首项  = 1数列  ，并得到递推公式

        我们利用构造法来确定它的通项公式

即

        显然  是一个等比数列，我们可以得到

        至此，我们得到了一个移动圆盘的方法，并可以根据圆盘数量计算出移动次数。即我们要移动数量为 n 的圆盘时，我们需要先将 n - 1 个圆盘移动到辅助柱上（PS. 这里思考时比较费解，移动 n - 1 个圆盘时，先要把 n - 2 个圆盘移动到目标柱上，接着把第 n - 1 个圆盘移动到辅助柱上，然后再把 n - 2个圆盘移动到辅助柱上，这时我们将辅助柱作为目标柱，而目标柱作为辅助柱，其中递推时各柱子适时的身份转换是后面 Python 代码实现算法的关键。），再将第 n 个大圆盘移动到目标柱上，最后再把 n - 1 个圆盘从辅助柱上移动到目标柱上，而移动次数为  次。

2.移动最少次数

        接下来我们证明上述规律为移动的最少次数。当圆盘数量为 n = 1 和 n = 2 时，利用不重复移动的穷举法可以证明移动的最少次数。

        当圆盘数量为 n = 3 及以上时，我们可以注意到，第 n 个大圆盘是移动受限最多的圆盘，当它从起始柱移动到目标柱上时，其余 n - 1 个圆盘一定在辅助柱上。所以我们在移动第 n 个圆盘之前，必须先把 n - 1 个圆盘先移动到辅助柱上，而根据PS.所注，移动第 n - 1 个圆盘到辅助柱时，其余 n - 2 个圆盘一定先在目标柱上。依次类推到第一个圆盘后，可以发现每个圆盘的移动都是固定的，任何其他的移动方式都是非必须。因此，我们可以证明上述的移动方法可以得到最少的移动次数。

四、Python代码

1.递归函数伪代码

        作者在最初尝试解决这个问题时，并没有想到利用递归函数求解，也由于编程经验缺乏，无奈去编程帮网站（一个很好的编程学习网站）上看了伪代码之后才恍然大悟。惊叹于这个巧妙利用形参调换位置后，便可以打印输出所期望的移动方法。下面是来源于编程帮网站伪代码展示解决问题的过程 

hanoi(num , source , target , auxiliary):            // num 表示移动圆盘的数量，source、target、auxiliary 分别表示起始柱、目标柱和辅助柱
    if num == 1:                                                 // 如果圆盘数量仅有 1 个，则直接从起始柱移动到目标柱
        print(从 source 移动到 target)
    else:
        hanoi(num-1 , source , auxiliary , target) // 调用 hanoi 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上
        print(从 source 移动到 target)                  // 将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上
        hanoi(n-1 , auxiliary , target , source)      // 调用 hanoi 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上

         作者认为这段递归函数伪代码很重要要的地方在于，用形参代指各个柱子，而且在内部调用过程中，通过输入不同的变量名，来模拟递推过程中各柱子身份的切换，如求解数学规律最后PS.所注那样，递推过程中，每个圆盘每步的移动是确定的，不过推理过程很复杂，因此直接交给计算机去进行推理。需要注意的是，在总圆盘数量改变时，每个圆盘每一步所移动的位置也需要发生改变。

        其实编写程序的过程中不需要进行非常复杂的思考，只需要将解决问题的逻辑用代码的形式展示出来，就能算是很成功的开头。如果解题的逻辑没有出现问题，那么报错大概率是语法出错。就如同上面的代码，其解题逻辑和本文前部分析得到方法别无二致，不过是用 if 判断巧妙设置了结束递归和进入递归的地方和打印输出所需结果。

2.Python代码实现

        作者根据提供的伪代码，编写出了解决汉诺塔问题的 Python 代码，并相较于网站提供的 Python 代码，添加了可以显示圆盘序号的功能，只需改变下面测试代码中函数的传入变量，即可输出相应数量的汉诺塔问题求解过程，代码如下

def hanoi(num):
    # 创建圆盘容器，用列表元素模拟取走或放上的圆盘
    source_disk = []
    auxiliary_disk = []
    target_disk = []
 
    for i in reversed(range(num)):      # 制造出一摞source上的初始圆盘
        source_disk.append(i + 1)
 
    # num 表示移动圆盘的数量，前三个列表参数，用于接受外层函数的圆盘容器，source、target、auxiliary 分别表示起始柱、目标柱和辅助柱
    def hanoi_way(num_in, source_list, target_list, auxiliary_list, source, target, auxiliary):
        '''
        设置六个参数，前三个列表表示各个圆盘移动后的情况，后三个元素代表柱子
        :return: 无
        '''
        if num_in == 1:  # 如果圆盘数量仅有 1 个，则直接从起始柱移动到目标柱
            print(f"将圆盘 {source_list[-1]} 从 {source} 移动到 {target}")
            target_list.append(source_list.pop())   # 此处需将移动放在打印之后，否则先移动会导致，列表中无元素而无法打印
        else:
            # 调用 hanoi 函数，将 num-1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱上
            hanoi_way(num_in - 1, source_list, auxiliary_list, target_list, source, auxiliary, target)
            print(f"将圆盘 {source_list[-1]} 从 {source} 移动到 {target}")  # 将起始柱上剩余的最后一个大圆盘移动到目标柱上
            target_list.append(source_list.pop())
            # 调用 hanoi 函数，将辅助柱上的 num-1 圆盘移动到目标柱上
            hanoi_way(num_in - 1, auxiliary_list, target_list, source_list, auxiliary, target, source)
 
    return hanoi_way(num, source_disk, auxiliary_disk, target_disk, "初始柱", "目标柱", "辅助柱")
 
 
if __name__ == '__main__':
    hanoi(4)
 
# 输出如下   
# 将圆盘 1 从 初始柱 移动到 辅助柱
# 将圆盘 2 从 初始柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 1 从 辅助柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 3 从 初始柱 移动到 辅助柱
# 将圆盘 1 从 目标柱 移动到 初始柱
# 将圆盘 2 从 目标柱 移动到 辅助柱
# 将圆盘 1 从 初始柱 移动到 辅助柱
# 将圆盘 4 从 初始柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 1 从 辅助柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 2 从 辅助柱 移动到 初始柱
# 将圆盘 1 从 目标柱 移动到 初始柱
# 将圆盘 3 从 辅助柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 1 从 初始柱 移动到 辅助柱
# 将圆盘 2 从 初始柱 移动到 目标柱
# 将圆盘 1 从 辅助柱 移动到 目标柱
 
 

        为了添加新功能，作者首先是想到利用列表存储每个柱子当前状态上面的圆盘数，采用闭包函数，设置初始各个柱子上面的圆盘情况。然后也是依葫芦画瓢给内层函数又增加了三个列表形参，用作接受圆盘的容器。这样可以跟随打印输出的移动情况，相应的移动列表内的元素，并把每次移动的圆盘序号打印出来。

        需要注意的是，打印输出要在列表内元素移动前，否则会因为某时刻列表内没有元素而无法打印出报错。

3.代码实现 2

        作者后面又尝试用CSDN创作助手编写程序输出一下上述代码实现的功能，发现更加简洁，代码如下

def hanoi(n, from_tower, to_tower, aux_tower):
    """
    :param n: 盘子数量
    :param from_tower: 起始塔
    :param to_tower: 目标塔
    :param aux_tower: 辅助塔
    """
    if n == 1:
        print(f"Move disk 1 from {from_tower} to {to_tower}")
        return
    hanoi(n-1, from_tower, aux_tower, to_tower)
    print(f"Move disk {n} from {from_tower} to {to_tower}")
    hanoi(n-1, aux_tower, to_tower, from_tower)
 
 
# 测试
hanoi(3, 'A', 'C', 'B')
# ```
#
# 输出：
#
# ```
# Move disk 1 from A to C
# Move disk 2 from A to B
# Move disk 1 from C to B
# Move disk 3 from A to C
# Move disk 1 from B to A
# Move disk 2 from B to C
# Move disk 1 from A to C
# ```

        看到这里，作者发现自己学习的知识太少太少，这篇文章就算是自己学习记录的开头，争取以后都能把想法记录下来。