数学建模 Lecture 1: 评价类模型———层次分析法_正互反矩阵权重

目录

一、十大模型

 二、评价类模型

解决问题的思路：

相关资料搜寻方式

层次分析法：

正互反矩阵

判断矩阵

一致性检验 

引理

一致性检验的步骤

权重计算：

1. 算数平均法求权重

2. 几何平均法求权重（与算数平均法基本一致，可以忽略）

3. 特征值法求权重

总结：层次分析法的使用步骤

局限性

模型拓展

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注明：以下截图均源于清风数学建模的课程中，版权归清风数学建模所有。

一、十大模型

二、评价类模型

注意：任何评价类模型都具有主观性，所以一般使用的时候我们不会去提及为什么A元素和B元素相比为什么值是这样的。

解决问题的思路：

1. 评价的目标是什么？（比如：选择最佳的旅游景点）

2. 为了达到这一目标我们有哪几种方案？（比如三种：去上海、北京或苏州）

3. 评价的指标（准则）是什么？（注意！题目没给相关数据支撑，所以我们要查找相关资料）

一般而言，前两个问题显而易见，而第三个问题需要我们根据背景材料、常识以及网上搜寻到的

相关资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

相关资料搜寻方式

优先选择知网、万方、百度或谷歌学术等，搜寻关键词，并且可以借鉴文献里的研究方法。

如果没搜寻到资料：

可以小组成员商议或搜索专家的看法

层次分析法：

对选择出来的几个因素设置对应的指标权重，绘制出表格，最后计算即可

指标权重相加需为1

基础版（具有缺点）：

 问题：因考虑不周导致权重的片面性

解决方法：两个两个指标进行比较，最终根据比较的结果推算出各指标所占的权重。

于是我们推出了优化版

先知道几个概念：

正互反矩阵

 > 0且满足 

用1-9表示重要程度

判断矩阵

判断矩阵的特点就是

1. 主对角线元素为1

2. （正互反矩阵）

 例如得出的判断矩阵：

但是这时可能出现问题,出现矛盾的地方，那这种矛盾很可能会影响模型的性能，所以我们需要引入一致性检验来验证模型效果。

一致性检验 

 这种具有矛盾的地方，所以在使用判断矩阵求权重之前，必须要做一致性检验。

一致性检验：用来判断我们构造的判断矩阵和一致矩阵的差距是否过大，是否会影响模型效果。

 一致矩阵的特点：任意各行（各列）之间成倍数关系

引理

n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值 = 

且当正互反矩阵A非一致时，一定满足最大特征值 > 

所以判断矩阵越不一致，最大特征值就与n相差越大.

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

 第三步：计算一致性比例CR

如果计算出来的CR<0.1，那就可以认为判断矩阵的一致性是可以接受的。反之需要修正。

修正方法：往一致矩阵上调整，利用一致矩阵各行成倍数的关系进行计算即可

权重计算：

做完一致性检验后就可以开始进行权重的计算了。

1. 算数平均法求权重

首先，一定要进行归一化处理

 即把当前元素的值除以这一列元素的和

然后把每一列的数据单独提出来进行归一化处理，算出来之后，把每一列计算出来的权重相加后

除以列数，即可以得到平均权重。 

例：

这是文字描述，转换为数学描述则如下图：（此过程可直接套用至文章中）

2. 几何平均法求权重（与算数平均法基本一致，可以忽略）

3. 特征值法求权重

第一步：求出矩阵的最大特征值及其对应的特征向量

第二步：对求出的特征向量进行归一化即可

第三步：将权重填入表格，计算即可（建议用excel表格计算，效率更高）

总结：层次分析法的使用步骤

1. 分析结构并绘制

可以用亿图图示、Processon以及visio等工具绘图

2. 构造判断矩阵

就是两两指标进行比较，构建矩阵

准则层———方案层的判断矩阵数值要结合实际填写，题目中如有其他数据，可以考虑使用这些数据进行运算。

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重并进行一致性检验

（检验通过权重才能使用） 

强烈建议三种计算权重的方法都是使用上！

理由：避免采用单一方法而产生的误差，既可以保证结果的稳健性，
             得出的结论也将更全面，更有效。

4. 计算各层元素对目标的权重，并进行排序得出结果

局限性

1. 评价的决策层不能太多，即n不能太大，否则判断矩阵和一致矩阵相差会很大

(n最大只能为15）

2. 如果决策层中指标的数据已知，那层次分析法的评价方法并不是最准确的。

模型拓展

1. 准则层可以有多个

2. 如果出现部分准则不影响部分因素的话，则将此因素和不影响它的准则的权重设为0