数据结构与算法 — 动态规划算法_动态规划算法数据结构里

数据结构与算法

数据结构与算法是计算机科学中的两个核心概念，它们在软件开发和问题解决中起着至关重要的作用。

数据结构

数据结构是计算机中存储、组织和管理数据的方式，它能够帮助我们高效地访问和修改数据。不同的数据结构适用于不同类型的应用场景。

常见的数据结构包括：

• 数组：一种线性数据结构，用于存储具有相同类型的元素集合，每个元素在内存中占据连续的位置。
• 链表：由节点组成的线性数据结构，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
• 栈：一种后进先出（LIFO）的数据结构，常用于管理函数调用、表达式求值等。
• 队列：一种先进先出（FIFO）的数据结构，适用于任务调度、缓冲处理等场景。
• 树：一种分层数据结构，由节点组成，每个节点可以有零个或多个子节点。
• 图：由顶点（节点）和边组成，可以表示多对多的关系，适用于网络分析、路径查找等。

算法

算法是解决特定问题的一系列步骤和规则。算法的性能通常通过时间复杂度和空间复杂度来衡量。算法的设计和选择对程序的效率有很大影响。

常见的算法类型包括：

• 排序算法：如快速排序、归并排序、堆排序等，用于将数据集合按特定顺序排列。
• 搜索算法：如二分搜索、深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等，用于在数据结构中查找特定元素。
• 图算法：如Dijkstra算法、A*搜索算法、Prim算法和Kruskal算法等，用于解决图中的最短路径、最小生成树等问题。
• 动态规划：一种通过将问题分解为重叠的子问题来解决问题的方法，适用于具有最优子结构特性的问题。
• 分治算法：将问题分解为若干个规模较小的子问题，递归解决子问题后合并结果，适用于某些特定类型的优化问题。
• 贪心算法：基于贪心策略，这种策略在每一步选择中都采取当前状态下最优的局部解，希望通过一系列局部最优解最终构造出一个全局最优解。

动态规划算法

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数据结构和算法设计中广泛应用的方法论。它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。在介绍动态规划的基本概念和应用之前，需要理解这两个关键特性：

1. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：如果一个问题的解决方案可以从其子问题的解中构建得出，并且子问题会被多次解决，那么这个问题就具有重叠子问题的特性。这意味着动态规划可以通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。

2. 最优子结构（Optimal Substructure）：一个问题具有最优子结构，如果一个全局最优解包含了其子问题的最优解。这意味着我们可以通过解决所有子问题的最优解来构建整个问题的最优解。

动态规划的基本步骤

• 识别子问题：分析给定问题，确定如何将问题分解为更小的子问题。
• 确定状态：定义状态，即问题的某个方面，它能够充分描述子问题的解。状态的选择对于动态规划算法的效率至关重要。
• 确定状态转移方程：根据问题的特性，找出子问题之间的关系，即状态转移方程。状态转移方程描述了如何从一个或多个较小的子问题的解来构造当前子问题的解。
• 确定边界条件：为动态规划表确定初始条件或边界情况，这些是最小的子问题，可以直接解决，无需进一步分解。
• 计算和构建解：根据状态转移方程和边界条件，自底向上（或自顶向下）地计算所有子问题的解，最终得到整个问题的解。

动态规划的应用实例

• 斐波那契数列：计算斐波那契数列的第n项。状态定义为dp[i]表示前i项的斐波那契数，状态转移方程为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，边界条件为dp[0] = 0和dp[1] = 1。

• 背包问题：给定一组物品，每个物品都有重量和价值，在不超过背包承重的情况下，选择物品使得总价值最大。状态定义为dp[i][w]表示前i个物品中，能够装入容量为w的背包的最大价值，状态转移方程依赖于当前物品是否放入背包。

• 最长公共子序列（LCS）：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。状态定义为dp[i][j]表示序列A的前i项和序列B的前j项的最长公共子序列的长度，状态转移方程根据两个序列当前字符是否相同来确定。

斐波那契c++示例

斐波那契数列是一个序列，其中每个数字是前两个数字的和，序列的前两个数字是0和1。这个序列的前几个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

#include <iostream>
#include <vector>

// 斐波那契数列的动态规划实现
int fibonacci(int n) {
    // 创建一个数组来存储斐波那契数列的值
    std::vector<int> dp(n + 1, 0);

    // 初始化前两个数字
    dp[0] = 0;
    if (n > 0) dp[1] = 1;

    // 从2开始，计算到n的斐波那契数
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    // 返回第n个斐波那契数
    return dp[n];
}

int main() {
    int n = 10; // 计算斐波那契数列的第10个数字
    std::cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << fibonacci(n) << std::endl;
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

在这个示例中，先定义了一个fibonacci函数，它接受一个整数n作为输入，并返回斐波那契数列的第n个数。使用一个vector来存储每个斐波那契数，这个vector被称为dp，其中dp[i]表示斐波那契数列的第i个数。

然后初始化dp[0]为0，dp[1]为1，使用一个循环从2开始计算每个斐波那契数，直到计算出第n个数。在循环中，使用状态转移方程dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]来更新每个状态。

最后，在main函数中，调用fibonacci函数并打印出结果。