机器学习MATLAB实现：Matlab-梯度Roberts算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子对图像进行锐化_matlab实现用拉普拉斯算子

机器学习MATLAB实现：Matlab-梯度Roberts算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子对图像进行锐化

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1. 锐化

1.锐化(Sharpening) ：图像在传输或变换过程中（如未聚焦好）、受到各种干扰而退化，典型的是图像模糊，而图像的判读和识别中，常需突出目标的轮廓或边缘信息。
2.边缘锐化：主要增强图像的轮廓边缘、细节（ 灰度跳变部分），以突出图像中景物的边缘或纹理，形成完整的物体边界，使边缘和轮廓模糊的图像清晰，又叫空域高通滤波（俗称为勾边处理）。
从数学角度看，图像模糊相当于图像被平均或者积分，为实现图像的锐化，我们需要运用它的反运算“微分”——加强高频分量，实现轮廓清晰。

2. 梯度运算

设图像$f(x,y)$为定义在点$(x,y)$的梯度矢量为$G[f(x,y)]$：
G [ f ( x , y ) ] = [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] = [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] ⊤ = ∇ f ( x , y ) \mathbf{G}[f(x, y)]=\left[

$$\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}$$ \right]=\left[\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}\right]^{\top}=\nabla f(x, y) G[f(x,y)]=[∂x∂f​∂y∂f​​]=[∂x∂f​∂y∂f​]⊤=∇f(x,y)
性质：

1. 梯度的方向是在$f(x,y)$的最大变化率方向
2. 梯度的幅度用$G[f(x,y)]$表示：

$$G[f(x,y)]={\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2\right]}^{1/2}$$
对于数字图像来说，梯度的求解从求偏导变成了相减
$$G[f(x,y)]={\left\{[f(i,j)-f(i+1,j){]}^2+[f(i,j)-f(i,j+1){]}^2\right\}}^{1/2}$$
简化为$$G[f(x,y)]\approx |f(i,j)-f(i+1,j)|+|f(i,j)-f(i,j+1)|$$

3. 边缘检测的分类

（1）一阶导数的边缘算子
通过模板作为核与图像的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值来提取图像的边缘。常见的有Roberts算子、Sobel算子和Prewitt算子。
（2）二阶导数的边缘算子
依据于二阶导数过零点，常见的有Laplacian 算子，此类算子对噪声敏感。
（3）其他边缘算子
前面两类均是通过微分算子来检测图像边缘，还有一种就是Canny算子，其是在满足一定约束条件下推导出来的边缘检测最优化算子。

4. Roberts算子

对于第二节所讲的数字梯度运算，我们将其公式改变为$$G[f(x,y)]\approx |f(i,j)-f(i+1,j+1)|+|f(i+1,j)-f(i,j+1)|$$
这种交叉梯度我们称之为Roberts梯度。

5. sobel算子

基本思想：以待增强图像的任意象素$(i,j)$为中心，截取一个$3\times 3$的象素窗口，先分别计算窗口中心象素在$x$，$y$方向的梯度:
S x = [ f ( i − 1 , j + 1 ) + 2 f ( i , j + 1 ) + f ( i + 1 , j + 1 ) ] − [ f ( i − 1 , j − 1 ) + 2 f ( i , j − 1 ) + f ( i + 1 , j − 1 ) ] S y = [ f ( i + 1 , j − 1 ) + 2 f ( i + 1 , j ) + f ( i + 1 , j + 1 ) ] − [ f ( i − 1 , j − 1 ) + 2 f ( i − 1 , j ) + f ( i − 1 , j + 1 ) ]

$$\begin{aligned} &S_{x}=[f(i-1, j+1)+2 f(i, j+1)+f(i+1, j+1)]-[f(i-1, j-1)+2 f(i, j-1)+f(i+1, j-1)]\\&S_{y}=[f(i+1, j-1)+2 f(i+1, j)+f(i+1, j+1)]-[f(i-1, j-1)+2 f(i-1, j)+f(i-1, j+1)]\end{aligned}$$ ​Sx​=[f(i−1,j+1)+2f(i,j+1)+f(i+1,j+1)]−[f(i−1,j−1)+2f(i,j−1)+f(i+1,j−1)]Sy​=[f(i+1,j−1)+2f(i+1,j)+f(i+1,j+1)]−[f(i−1,j−1)+2f(i−1,j)+f(i−1,j+1)]​
增强后的$(i,j)$的灰度： $f^{\prime }(i,j)=\sqrt{S_x^2+S_y^2}$
可以简化为：$f^{\prime }(i,j)=|S_x|+|S_y|$
优点:

• 由于引入了加权平均，所以对图像中的随机噪声具有一定的平滑作用。
• 由于采用间隔两行或两列的差分，边缘两侧的象素得到增强，锐化图像的边缘显得粗而亮。

$Sx,Sy$可用卷积模板来实现 可用卷积模板来实现：
S x = [ − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 0 1 ] S y = [ − 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1 ] S_{x}=\left[

$$\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1\end{array}$$ \right] \quad S_{y}=\left[ $$\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}$$ \right] Sx​= ​−1−2−1​000​121​ ​Sy​= ​−101​−202​−101​ ​
可见：其重点放在接近于模板中心的象素点

6. Prewitt算子

基本思想：与Sobel算子相同，方程的形式相同，但其中系数不同:
S x = [ − 1 0 1 − 1 0 1 − 1 0 1 ] S y = [ − 1 − 1 − 1 0 0 0 1 1 1 ] S p = S x 2 + S y 2

$$\begin{array}{c} S_{x}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}$$ \right] \quad S_{y}=\left[ $$\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}$$ \right] \\\\ S_{p}=\sqrt{S_{x}^{2}+S_{y}^{2}} \end{array} Sx​= ​−1−1−1​000​111​ ​Sy​= ​−101​−101​−101​ ​Sp​=Sx2​+Sy2​ ​​
可见：与Sobel算子不同 ，其重点没有放在接近于模板中心的象素点。

7. 拉普拉斯算子

基本思想：拉普拉斯(Laplacian) 算子是 n 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子。${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ 具有各向同性。

1. 对于数字图像$f(x,y)$ ，其一阶导数为：
   $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f(i,j)}{\partial x}={\Delta }_{x}f(i,j)=f(i,j)-f(i-1,j)\\ \\ \frac{\partial f(i,j)}{\partial y}={\Delta }_{y}f(i,j)=f(i,j)-f(i,j-1)\end{array}$$
2. $f(x,y)$ ，其二阶导数为：
   $$\{\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f(i,j)}{\partial x^2}& ={\Delta }_{x}f(i+1,j)-{\Delta }_{x}f(i,j)\\ & =[f(i+1,j)-f(i,j)]-[f(i,j)-f(i-1,j)]\\ & =f(i+1,j)+f(i-1,j)-2f(i,j)\\ & \\ \frac{{\partial }^{2}f(i,j)}{\partial y^2}& =f(i,j+1)+f(i,j-1)-2f(i,j)\end{array}$$
3. 拉普拉斯算子为：$$\begin{array}{rl}{\nabla }^{2}f(i,j)& ={\Delta }_x^{2}f(i,j)+{\Delta }_y^2(i,j)\\ & =f(i+1,j)+f(i-1,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)-4f(i,j)\\ & =-5\left\{f(i,j)-\frac{1}{5}[f(i+1,j)+f(i-1,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)+f(i,j)]\right\}\end{array}$$

其中，Laplacian算子四邻域模板如下所示：
H = [ 0 − 1 0 − 1 4 − 1 0 − 1 0 ] \mathrm{H}=\left[

$$\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}$$ \right] H= ​0−10​−14−1​0−10​ ​
Laplacian算子八邻域模板如下所示
$$\mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$$
可见：

• 当邻域内像素灰度相同时，模板的卷积运算结果为0；
• 当中心像素灰度高于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积运算结果为正数；
• 当中心像素的灰度低于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积为负数。对卷积运算的结果用适当的衰弱因子处理并加在原中心像素上，就可以实现图像的锐化处理。

8. matlab代码实现

clc;clear all;
img = imread('C:\Users\lihuanyu\Desktop\opencv\image\lena256.bmp');
figure;
imshow(img),title("原图像");
[ROW,COL] = size(img);
img = double(img);
new_img = zeros(ROW,COL); %新建画布
%定义robert算子
roberts_x = [1,0;0,-1];
roberts_y = [0,-1;1,0];
for i = 1:ROW - 1
    for j = 1:COL - 1
        funBox = img(i:i+1,j:j+1);
        G_x = roberts_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = roberts_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        roberts_xy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i,j) = roberts_xy;
    end
end
figure(2);
imshow(new_img/255),title("robert算子的图像");
% 定义laplace算子
laplace = [0,1,0;1,-4,1;0,1,0];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G = laplace .* funBox;
        G = abs(sum(G(:)));
        new_img(i+1,j+1) = G;
    end
end
figure(3)
imshow(new_img/255),title("laplace算子的图像");
%定义sobel算子
sobel_x = [-1,0,1;-2,0,2;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-2,-1;0,0,0;1,2,1];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G_x = sobel_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = sobel_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i+1,j+1) = sobelxy;
    end
end
figure(4);
imshow(new_img/255),title("sobel的图像");
%定义Prewitt算子
sobel_x = [-1,0,1;-1,0,1;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-1,-1;0,0,0;1,1,1];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G_x = sobel_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = sobel_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i+1,j+1) = sobelxy;
    end
end
figure(5);
imshow(new_img/255),title("Prewitt的图像");
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原图：

结果：