图像锐化处理之一阶微分算子

作者：很楠不爱3 | 2024-02-09 17:54:29

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一阶微分算子

图像锐化是通过增强图像的边缘和细节来提高图像的清晰度的操作。这种操作通常用于将模糊或不清晰的图像改进为更清晰的图像。由于微分是对函数局部变化率的一种描述，因此图像锐化算法的实现可基于空间微分。

一阶微分算子

对任意一阶微分的定义必须满足两点：灰度不变的区域微分值为0；在灰度变化的区域微分值非0。由于处理的是离散情况，微分用差分近似。对于一维函数 $f(x,y)$ ,一阶微分基本定义：

   $\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$

一维微分可用导数符号。二维图像 $f(x,y)$ 将沿着两个空间坐标轴求解一阶微分,分别对x,y求偏导:

$g_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1,y)-f(x,y)$ , $g_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=f(x,y+1)-f(x,y)$

二维图像的梯度是一个二维向量：

   $\Delta f=grad(f)=\begin{bmatrix} g_{x}\\ g_{y} \end{bmatrix}$

梯度的幅值：

   $M(x,y)=mag(\Delta f)=\sqrt{g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}$

M(x,y)是梯度向量方向变化率在（x,y)处的值。

这里使用3*3邻域灰度值表示z1,z2...z9,其中z5表示f(x,y),依次类推。

二维图像最简单的一阶微分近似：

$g_{x}=z_{9}-z_{5}$ $g_{y}=z_{8}-z_{6}$

根据罗伯特观点，边缘检测器应具有：

产生边缘清晰；背景尽可能减小噪声；边缘强度应尽可能接近人类的感知。并提出两个交叉差分表示:

$g_{x}=z_{9}-z_{5}$ $g_{y}=z_{8}-z_{6}$

梯度幅值为：

$M(x,y)=mag(\Delta f)=\sqrt{g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}$ $=\sqrt{(z_{9}-z_{5})^{2}+(z_{8}-z_{6})^{2}}$

正负对角线梯度算子：

罗伯特边缘图像和梯度图像代码：


from skimage import io,filters
from matplotlib import pyplot as plt
from skimage.color import rgb2gray
 
#原始图像
I=io.imread('demo.jpg')
I_gray=rgb2gray(I) #灰度转换
#robert交叉梯度算子
I_rob_pos=filters.roberts_pos_diag(I_gray)
I_rob_neg=filters.roberts_neg_diag(I_gray)
I_rob=filters.roberts(I_gray)
#显示
plt.subplot(121)
plt.title("gray")
plt.imshow(I_gray,cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.title("Pos")
plt.imshow(I_rob_pos,cmap='gray')
plt.show()
plt.subplot(121)
plt.title("Neg")
plt.imshow(I_rob_neg,cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.title("Rob")
plt.imshow(I_rob,cmap='gray')
plt.show()

原始图像和正对角线边缘图像：

负对角先边缘图像和罗伯特梯度图像：

使用交叉梯度算子可以得到梯度图像M(x,y),将梯度图像以一定比例叠加到原始图像f(x,y)即可得到锐化图像：

$g(x,y)=f(x,y)+c*M(x,y)$

c为锐化强度系数。

由于奇数模板有对称中心，更易于实现。使用3*3模板对 $g_{x}$ , $g_{y}$ 进行表达:

$g_{x}$ = $\frac{\partial f}{\partial x}=(z_{7}+2z_{8}+z_{9})-(z_{1}+2z_{2}+z_{3})$

$g_{y}$ = $\frac{\partial f}{\partial y}=(z_{3}+2z_{6}+z_{9})-(z_{1}+2z_{4}+z_{7})$

Sobel边缘图像和梯度图像：


from skimage import io,filters
from matplotlib import pyplot as plt
from skimage.color import rgb2gray
 
#原始图像
I=io.imread('demo.jpg')
I_gray=rgb2gray(I) #灰度转换
#sobel算子
I_h=filters.sobel_h(I_gray)
I_v=filters.sobel_v(I_gray)
I_sobel=filters.sobel(I_gray)
 
#显示
plt.subplot(121)
plt.title("gray")
plt.imshow(I_gray,cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.title("H")
plt.imshow(I_h,cmap='gray')
plt.show()
plt.subplot(121)
plt.title("V")
plt.imshow(I_v,cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.title("Sobel")
plt.imshow(I_sobel,cmap='gray')
plt.show()

原图与水平sobel边缘图像：

竖直sobel边缘图像和sobel梯度图像：

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